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PEIGNES et topologie
Bonjour à tous
Voici une amusette topologique qui n'utilise que des connaissances de base sur la connexité et la compacité dans Rn.
On dit qu'un espace topologique X est contractile par rapport à un de ses points a s'il existe une fonction contiinue telle que:
F(0,x)=a et F(1,x)=x pour tout x de X et F(t,a)=a pour tout t de [0,1].
En imaginant que t est le temps et que F(t,x) est la position de x à l'instant t, ceci signifie qu'à l'instant t=0 tout le monde est en a, qu'à l'instant t=1, chacun a regagné sa place, tout ceci dans l'ordre, sans faire de sauts, sans sortir de X et sans que a bouge.
1) Montrer qu'une partie X de Rn étoilée est contractile par rapport à chacun de ses points.
2) On se place dans R2, on note [M,N] le segment fermé d'extrémités M et N. On pose:
O=(0,0) B=(0,1) et pour n entier non nul, An=(1/n,0) et Bn=(1/n,1).
Et voici enfin UN PEIGNE:
Montrer que P est connexe par arcs, contractile par rapport à O, mais NON contractile par rapport à B.
3) Et voici DEUX PEIGNES: Soit P' la réunion de P avec son symétrique par rapport à la droite y=x+1.
Montrer que P' n'est contractile par rapport à aucun de ses points.
Salut,
pour la premiere si a est le centre de X étoilé:
On pose:
qui vérifie les conditions donc X est contractile par rapport à a.
Si on prend un autre point on peut pas faire pareil directement vu qu'on sait pas si le segment est dans X il doit falloir passer par le centre.
Bonsoir
cauchy> il suffit de faire deux morceaux de segments.
On choisit b quelconque dans X et en appelant a le centre de X étoilé, alors on va de b jusqu'à a puis on va de a jusqu'à x.
Kaiser
Bonjour
Comme d'hab j'ai oublié quelque chose dans l'énoncé. A=A1 qui a été défini.
Bonne continuation.
Bonjour Camélia, Cauchy, kaiser.
Camélia, avec ton sujet sur les peignes, il y a de quoi s'arracher les cheveux.
A plus RR.
Bonjour Cauchy, kaiser raymond
Amusant raymond! Quand vous en aurez assez, demandez des indications. En fait, intuitivement, on voit bien ce qui se passe. La seule réponse un peu difficile à mettre en forme, est bien sûr la fin de 2).
A plus...
Bonjour à tous, ne laissons pas un exo pas fini sur le site...
Pour 1), kaiser et Cauchy ont donné la réponse.
2): la fonction F définie par F(t,(x,y)) = (2tx,0) si 0
t1/2 et
F(t,(x,y))=(x,(2t-1)y) si 1/2
Supposons qu'il existe une "bonne" fonction pour la contractibilité par rapport à B. Je pose fn(t)=F(t,Bn). Alors fn(0)=B et fn(1)=Bn.
Supposons que fn([0,1]) ne rencontre pas [0,A1]. Alors fn([0,1]) est une partie connexe de P\[0,A1]. Mais ]An,Bn] est un ouvert fermé connexe de cet espace, on aurait donc toute l'image contenue dedans ce qui est contradictoire avec fn(0)=B.
Soit donc tn tel que fn(tn)
[0,A].
De la suite (tn) on peut extraire une suite convergente (tm) (Bolzano-Weierstrass dans le compact [0,1]) de limite 
. Mais alors F(tm,Bm) tend vers F(,B)=B ce qui est contradictoire avec le fait que c'est une suite contenue dans [0,A1].
Tout ça ne fait que formaliser le fait que pour aller de B vers Bn on doit passer par l'axe des x, ce qui n'est pas faisable en conservant B fixe à cause des Bn qui n'ont pas le droit de s'éloigner...
3) En remarquant que P' privé de B a deux composantes connexes, on se convainc que pour réaliser une contraction, il faut dans tout les cas contracter un peigne sur B ce qui vient d'être prouvé impossible!
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