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Propriété vraie sur toute boule ouverte de centre 0
Bonsoir,
Je souhaite montrer qu'une application G est différentiable en tout point de L(E). Pour cela je prends u dans L(E) et j'étudie G(u+h) avec h dans L(E).
Je parviens alors à trouver une application L(h) qui est la différentielle mais il me faut encore montrer que celle-ci est continue sur E. Elle est linéaire donc et j'obtiens que pour tout h dans E,
IIL(h)II <= (3*IIuII)*IIhII
Ce résultat dépendant de la norme de u, je souhaite revoir mon raisonnement et fixer un R>0 quelconque pour prendre u dans la boule ouverte de centre 0 et de rayon R. Dans ce cas j'aurais :
IIL(h)II <= (3R)*IIhII
Je pourrais alors conclure que (L étant linéaire), L est continue et définit bien la différentielle de G. G serait donc différentiable sur toutes les boules ouvertes de L(E) de centre 0.
Puis-je en déduire que G est différentiable sur L(E) tout entier ? Il me semble avoir déjà vu une méthode comme ça dans une correction. Si oui, pourquoi est-ce vrai ?
Merci beaucoup.
Pour commencer, j'ai l'impression que tu as déjà réussi à prouver la différentiabilité : tu as trouvé pour tout u 
L(E) une application linéaire L qui vérifie . De plus, l'inégalité
que tu obtiens suffit à obtenir la continuité de L (L dépend du choix de u puisque c'est la différentielle de G en u, il est donc normal que la borne trouvée dépende de u).
Toutefois ton raisonnement est correct : si G est différentiable sur toute boule B(0, R), pour R > 0, puisque pour tout u L(E) on peut trouver une valeur de R telle que u B(0, R), on en déduit bien que G est différentiable en tout point de L(E).
Ok merci beaucoup pour ta réponse. Cette partie "si G est différentiable sur toute boule B(0, R), pour R > 0, puisque pour tout u L(E) on peut trouver une valeur de R telle que u B(0, R), on en déduit bien que G est différentiable en tout point de L(E)." pourra toujours servir !
bonne journée
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