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quelles différences entre métrique et norme ?
Bonjour à tous
Voilà je ne comprends pas vraiment la différence entre un espace métrique qui est muni d'une fonction distance ou métrique et un espace vectoriel muni d'une norme.
distance => d: E*E -> [0,+00[
norme => N: E -> [0,+00[
Merci d'avance pour vos explications 
Bonjour,
une distance est beaucoup plus generale qu'une norme, on peut la definir dans tout plein d'espace.
Une norme ne se definit que sur des espaces possedant une structure forte, dans ton cas espace vectoriel
Une norme definit canoniquement une distance sur ton espace vectoreil en faisant un espace vecotriel metrique...mais une norme est plus forte, cela dit on ne perd pas grand chose qund on a qu'une distance
Par exemple sur tout espace (vectoriel compris) tu peux definir la metrique discrete, tu peux voir qu'elle ne provient d'aucune norme...
Bonjour
D'abord tu vois bien que dans le premier cas c'est de deux variables d(x,y) et dans le second cas d'une seule N(x). Il est vrai qu'en posant d(x,y)=|N(x)-N(y)| on définit une distance d à partir d'une norme N.
La notion de distance est beaucoup plus générale, on peut l'utiliser même sur des ensembles qui ne sont pas des espaces vectoriels. Mais même sur des espaces vectoriels on peut avoir des distances qui ne proviennent pas de normes.
Par exemple sur R, en posant on définit une distance qui ne provient pas d'une norme.
Bonjour Rodrigo
Bonjour Camélia
Toute norme \\-\\ induit une métrique d sur E de la façon suivante: d(x,y) = \\x-y\\
x,y
EEst-ce que norme = distance ?
En fait quand on est dans un espace vectoriel on parle de norme et quand on est dans un espace quelconque Rn, euclidien etc... on parle de distance ?
est-ce que:
_
B (x,r) = {y
E / \\x-y\\ 
r} est ce égal
_
à B (x,r) = {y
E / d(x,y)=(x-y)r}
??
C'est pas vraiemnt clair, je ne vois pas vraiment la fifférence est-ce juste une annotation ? (ie: quand on est dans un espace vectoriel normé dire d(x,y) c'est dire d(x,y) = \\x-y\\)
Désolée pour mes mauvaises formulations
Merci d'avance pour votre aide
Ben tout depend de ce que tu prend au depart, si tu muni ton espace vectoriel d'une norme alors il est norme, et il a une distance associe qui est bien celle que tu dit |x-y|=d(x,y), dans ce cadre la les boules ouvertes que tu a defini sont bien les memes.
Par contre on peut se donner sur un espace vectoriel juste une distace (c'est plus faible, moins restrictif si tu preferes) la on a pas d(x,y)=|x-y| puisqu'on ne s'est pas donne de norme. Ta distance est a priori quelconque il n'y a pas de normes
Maintrenant plus prosaiauement la norme te donne un idee de taille des vecteurs, la distance donne une idee d'eloignement des points.
Si tu te donne une taille sur les vecteurs alors tu a du meme coup un eloignement sur les points, 2 points seront d'autant plus loin que la taille du vecteur qui les relie est grande...
la norme te donne un idee de taille des vecteurs, la distance donne une idee d'eloignement des points.
Si tu te donne une taille sur les vecteurs alors tu a du meme coup un eloignement sur les points, 2 points seront d'autant plus loin que la taille du vecteur qui les relie est grande...
Ok, merci je ne visualisais pas ça comme ça, c'est plus clair maintenant.
Donc si je récapitule, quand on dit:
-Espace vectoriel normé => d(x,y) = \\x-y\\ (ça c'est une définition ? c'est toujours vrai ?)
on parle de norme infini, de norme usuelle sur R, etc....
-Espace métrique => d(x,y), on parle de métrique discrète, de métrique usuelle sur R, métrique d00
En fait ce sont des formules différentes, comme la métrique discrète qui est défini sur un espace métrique, n'existe pas sur un espace vectoriel normé.
C'est ça en gros ?
Je crois avoir compris la différence à présent
Oui c'est ca...juste un detail... qund tu dis la metrique discrete n'existe pas sur un espace vectoriel norme...c'est un peu ambigu...sur un espace vectoriel on peut mettre la metrique discrete il definit alors une structure metrique qui est differente de celle que te definit une norme...En gros tu ne trouvera aucune norme |.| telle que la distance associee d(x,y)=|x-y| soit la metrique discrete
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