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question isomorphisme de corps

Posté par
helocla69 20-05-23 à 09:50

Bonjour,

Je suis en train de lire le livre de Jean Saint-Raymond, Topologie, calcul différentiel et variable complexe.

Au tout début, chapitre 1, p. 4, pour définir l'ensemble des nombres complexes \mathbb{C}, il introduit l'application x \mapsto (x,0) de \mathbb{R} dans \mathbb{C} et dit que c'est, je cite,  " un isomorphisme de corps (injectif mais pas surjectif)". Comment cela est-il possible ? Je croyais qu'un isomorphisme était un morphisme bijectif donc injectif et surjectif ... Quelqu'un peut-il m'expliquer ?

Bonne journée,

Posté par AitOuglifre : question isomorphisme de corps 20-05-23 à 11:04

Bonjour

A mon avis, tu as mal recopié et/ou suivi.
"Morphisme de corps, DONC injectif. Mais il est non surjectif" (ce qui est assez évident puisque (5,1) n'a pas d'antécédent...
Il a sûrement écrit quelque chose comme ça.

Posté par
Panter Correcteurre : question isomorphisme de corps 20-05-23 à 11:13

Bonjour,

Peut-être que l'auteur n'a pas choisi la bonne appellation...

L'application \begin{array}{rcccl}&&\mathbb{R}&\to& \mathbb{C}\\ & &x &\mapsto &(x,0)\end{array} est un morphisme injectif de corps.

Si on note \C' le sous-corps de \C défini par \mathbb{C}^{' }=\lbrace (x,0) / x \in \mathbb{R} \rbrace \text{ de } \mathbb{C}.
Alors l'application \begin{array}{rcccl}&&\mathbb{R}&\to& \mathbb{C}'\\ & &x &\mapsto &(x,0)\end{array} est dans ce cas un isomorphisme. Et on a donc, ( \mathbb{R} , + , \times) est isomorphe au sous-corps \mathbb{C}^' de \mathbb{C}.

Sauf erreur de ma part.

Cordialement,

Panter

Posté par
helocla69re : question isomorphisme de corps 20-05-23 à 12:10

AitOuglif @ 20-05-2023 à 11:04

Bonjour

A mon avis, tu as mal recopié et/ou suivi.
"Morphisme de corps, DONC injectif. Mais il est non surjectif" (ce qui est assez évident puisque (5,1) n'a pas d'antécédent...
Il a sûrement écrit quelque chose comme ça.


Je viens de re-vérifier c'est exactement ce qui est écrit mais les coquilles dans les livres c'est fréquent ...

Posté par
helocla69re : question isomorphisme de corps 20-05-23 à 12:11

Panter @ 20-05-2023 à 11:13

Bonjour,

Peut-être que l'auteur n'a pas choisi la bonne appellation...

L'application  \begin{array}{rcccl}&&\mathbb{R}&\to& \mathbb{C}\\ & &x &\mapsto &(x,0)\end{array}    est un morphisme injectif de corps.

Si on note \C' le sous-corps de \C défini par  \mathbb{C}^{' }=\lbrace  (x,0) / x \in \mathbb{R} \rbrace  \text{ de } \mathbb{C}.
Alors  l'application  \begin{array}{rcccl}&&\mathbb{R}&\to& \mathbb{C}'\\ & &x &\mapsto &(x,0)\end{array}  est dans ce cas un isomorphisme. Et on a donc, ( \mathbb{R} , + , \times)   est isomorphe au sous-corps  \mathbb{C}^'   de  \mathbb{C}.

Sauf erreur de ma part.

Cordialement,

Panter


D'accord, merci Panter, cela doit être cela. J'avoue que je me laisse facilement déstabiliser ... mais en effet, votre interprétation fait tout à fait sens !

Merci encore et bon we

Posté par AitOuglifre : question isomorphisme de corps 20-05-23 à 12:14

D'une manière générale, toute injection est une bijection sur son image.


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