salut florent,

pas trop dur ce gros master à Lyon?

Il me semble que IR muni de sa topo usuelle est de Baire car complet, et qu'il est homéomorphe à IR muni de la distance d.
Etre de Baire est une propriété purement topologique, donc (IR,d) est aussi de Baire (mais pourtant pas complet).

Hey Romu !
Ah il est pas évident ce master à Lyon. Apparemment l'an dernier il y a eu un arrivage massif de prépas en L3 à Lyon, et ils sont tous là en M1 cette année. Résultat, sur notre promo de 40, il y a au moins 30 ex-prépas, dont certains viennent même de MP* du lycée du Parc... et je te parle pas des ENS inscrits avec nous... Gros niveau donc. Et concernant les cours, ça monte d'un cran aussi, mais ça c'est l'effet Master. Et puis entre mon année de 5/2 et mon année en L3 où on revoyait quelques trucs de Spé, j'avais perdu l'habitude de voir autant de nouvelles notions d'un coup ! Enfin je me plains pas, je suis content d'être ici.
Et toi alors ? Il parait que c'est pas évident non plus, mais que tu te fais plaisir en théorie des nombres

Sinon concernant l'exo, comment tu montres que (R,|.|) est homéomorphe à (R,d) ? Il faut montrer que les distances sont équivalentes ? Ou alors montrer que les topologies sont équivalentes ?

Je m'en rappelle plus comment on fait pour montrer qu'ils sont homéomorphes, j'ai répondu de de mémoire.

Mais par contre ces deux distances ne sont clairement pas équivalentes, pour d toutes les parties de IR sont bornées ce qui n'est pas le cas pour la distance induite par la valeur absolue.

Je sais pas qui ce qu'on t'a dit mais je trouve que je trime sec en théorie des nombres

Comment on fait d'habitude pour montrer qu'un espace (E,d) est homéomorphe à un espace (E,d') ? Moi j'aurais essayé de montrer que les distances étaient équivalentes, mais là tu as raison, elles ne le sont pas...

Gael m'a dit qu'au début de l'année t'avais torché un exo de théorie des nombres, ça l'avait marqué apparemment ^^

je crois qu'on peut montrer qu'ils ont les mêmes fermés en passant par la caractérisation séquentielle de fermés.

ssi

en utilisant la continuité de la tangente et de l'arctangente, à voir.

Ca donne :

Les deux distances définissent donc les mêmes suites convergentes (arctan(|x-y|)->0 ssi |x-y|->0).
Je prends un fermé F de (R,d).
Je considère une suite de F, (xn), qui converge vers un réél x, pour |.|
Alors xn converge vers x pour d aussi, et comme F est fermé pour d, x appartient à F.
Ainsi, F est aussi fermé pour |.|.
L'inclusion inverse est alors évidente.
d et |.| définissent donc les mêmes fermés, et donc aussi les mêmes ouverts, par passage au complémentaire.
(R,d) et (R,|.|) sont donc topologiquement équivalents. Comme (R,|.|) est de Baire, et qu'être de Baire est une proprieté topologique, alors (R,d) est de Baire.

Ca roule comme démonstration ? Et pourquoi (R,d) n'est pas complet ? J'essaye de trouver une suite réélle qui soit de Cauchy pour d mais pas pour |.| mais j'y arrive pas... Help Romu !

je crois que la suite convient.

n'importe quelle suite qui tend vers doit convenir d'ailleurs.

(pour la valeur absolue)

T'es sûr ?
Je me donne =/8
n , arctan(|(n+1)-n|)=arctan(1)=/4 > /8
Ce qui est la négation d'une suite de Cauchy.

Juste un point

On a bien d(xn,x)->0 ssi arctan(|xn-x|)->0 ssi |xn-x|->0, non ?

oups autant pour moi, je m'étais mis dans la tête qu'on travaillait avec la distance |arctan(x)-arctan(y)|.

T'es sûr que (,d) n'est pas complet ?
Je prends une suite (xn) de Cauchy de (,d).
n tq m n, d(xn,xm)<arctan() ie tq arctan(|xn-xm|)<arctan()
On a alors |xn-xm)<Et donc (xn) est de Cauchy dans (R,|.|), donc elle converge pour |.|, donc elle converge pour d puisque les deux distances définissent les mêmes suites convergentes. Donc (E,d) est complet. Ou est-ce que ça cloche ?

du coup il est complet non?

vraiment désolé j'avais mal lu dès le début (une chance que l'homéomorphie marchait )

du coup la complétude suffit qu'il est de Baire (même pas besoin de l'homéomorphie).

Haha t'inquiètes pas, tu m'as bien aidé, même en te trompant sur la distance !
Et puis l'exo demandait : l'espace est-il de Baire ? Est-il complet ?
L'ordre des questions laissait penser qu'on ne se servirait pas du théorème de Baire (et donc sans doute que l'espace était de Baire mais pas complet), c'est pour ça que je me suis pas d'abord intéressé à la complétude.
Merci beaucoup pour ton aide Romu (je me doutais un peu que tu répondrais à ce post, vu ton activité sur ce site, et en plus c'est de la topo et t'as l'air d'aimer ça ).
Bonne continuation !

C'est vrai que j'aime bien la topo

Bonne chance à toi aussi.