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Théorème d'Ascoli
Bonjour,
j'ai vu en cours un certain énoncé du théorème d'Ascoli, valable pour une famille A de fonctions définies sur X compact et à valeurs dans E complet. Le théorème dit en gros "A relativement compacte ssi A équicontinue et 
x, A(x) est relativement compacte.
Mais un prof de TD a écrit une autre version. Le seul truc qui change dans les hypothèses, c'est qu'on a des fonctions à valeurs réélles. Mais son théorème donne : "A relativement compacte ssi A équicontinue et A bornée".
Ce deuxième théorème est donc Ascoli sans le cas où on a des fonctions à valeurs réélles ? Comment relier ces deux théorèmes ?
Merci de votre aide !
Pardon pour la dernière phrase : "Ce deuxième théorème est donc Ascoli DANS le cas où on a des fonctions à valeurs réélles ? Comment relier ces deux théorèmes ?"
Bonsoir fade2black
En fait, le lien c'est qu'un sous-ensemble X de est relativement compact si et seulement si X est borné (d'ailleurs, ceci reste vrai si à la place de
, on avait pris un
-espace vectoriel de dimension finie car dans ce cas, les ensembles relativement compact sont les ensembles bornés). Du coup, comme
est complet, la première version du théorème d'Ascoli s'applique.
Kaiser
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