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Théorême de Dini
Bonjour,
J'ai un espace métrique (X,d) compact,
E un espace vectoriel des applications continues de (X,d) à valeurs dans la droite usuelle R (les réels).
On munit E de la norme "uniforme" ||.|| infinie.
Soit (fn) une suite croissante d'élements de E convergeant simplement vers un élément g de E.
Soit Epsilon (noté Ep) positif. Pour tout n entier, on pose Fn,Ep ={x€X : g(x)- fn(x) >= Ep}
Comment puis-je montrer de (Fn,Ep) est une suite de fermés de (X,d) d'intersection vide ??
Merci
En fait, puis-je dire que l'ensemble Fn,Ep est le complémentaire de l'ensemble {x€X tel que g(x)-fn(x)<Ep} qui est un ouvert par continuité des fonctions fn et g ?
Salut,
fermé, c'est évident non?
Ensuite remarque que F(n+1) est inclus dans F(n) donc l'intersection indexée par n est vide.
Par compacité on peut trouver un N tel que F(N) est vide.
Par conséquent à partir du rang N, F(n) est vide.
Conclus.
Bonjour,
Merci pour votre aide
Et pour dire que cet ensemble est un fermé en fait ça ne me semble pas si évident que ça, je ne le vois pas comme ça ! Mais puis-je dire que l'ensemble Fn,Ep est le complémentaire de l'ensemble {x€X tel que g(x)-fn(x)<Ep} qui est un ouvert par continuité des fonctions fn et g ?
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