Pour la première égalité, raisonnement par l'absurde. Tu supposes l'intersection non vide. Tu prends x dans U et l'adhérence de M. Comme U est ouvert, il existe r>0 tel que la boule B(x,r) soit contenue dans U. Mais comme x est dans l'adhérence de M par définition il existe une suite de points x(n) de M qui convergent vers x donc si tu prends N tel que pour n>N la distance de x à x(n) est strictement inférieure à r, tu vois que x(N+1)appartient à B(x,r)U donc x(N+1) est à la fois dans U et M. C'est absurde.

Pour la seconde, réfléchis...

Salut,
il ne faut pas utiliser la notion de boule parce que X n'est forcement un espace metrique!
puisque MU=
alors MU^c U^c
Car le complementaire d'un ouvert est un fermé dans un espace topologique
Donc U=
Pour la seconde:
UU=U(U^c)=

Si on admet que c'est bien un espace métrique, pour le 2e on a:

UU=
U(=
U(U^c)=
U(\int(U))= je ne comprend pas vraiment pourquoi ca nous donne l'ensemble vide...ce serait tres sympa de m'expliquer.

En plus je dois montrer que int(U)=:

int(U)=
int()=
int(U^c=
int(\int(U))= la aussi j'aimerais bien savoir pourquoi on a un ensemble vide...

Merci d'avance de votre aide

le correspond à  l'adhérence de X\U

MERCI!

On a
UU=U(U^c)
et puisque
(U^c)U^c
donc U(U^c)UU^c=
d'ou

U(\int(U))=
D'une autre manière puisque U est un ouvert alors int(U)=U
U(\int(U))=U(\U)=
Pour (\int(U))=(

Merci beaucoup! j'aurais quand même une autre question.
Soit (X,d) un espace métrique. Pour MX on constate la fonction caractéristique M(x)=1 pour xM et M(x)=0 pour xX\M.
Je dois montrer queM est continue en x0 X si et seulement si x0 n'appartient pas à M.

Tout ce que je sais d'aprÈs mon cours c'est que lorsqu'il s'agit d'une fonction f continue en x0, on a un voisinage U de f(x0) et f^-1(U) est le voisinage de x0.

Merci

Salut tazia
Si f est continu en x₀ alors la limite à gauche égale à la limite à droite donc x₀ n'est pas dans la frontière de M car si non
lim f(x+1/n)=lim f(x-1/n)   qd n converge vers
ce qui implique 1=0  absurde
l'autre evident

Merci pour ta réponse

Pas de problème