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Topologie
Salut,
Je me bloque sur une question d'un exo, la voilà :
E un K-evn et O un ouvert non vide connexe par arcs de E.
Soit a 
O
On pose U = { x O / 
(,..,
)
tq
=a et
=x et [
,
]
O, 
i [0,n-1] }
Montrer que U = O
Je pense qu'il faut montrer que U est à la fois ouvert et fermé mais je sais pas comment commencer. J'espère que vous me donnez des indications.
Merci d'avance 
salut
prend un certain appartenant à
et n'appartenant pas à
et essaae de le relier à
avec une telle chaine et tu obtiendras une contradiction
Attention:
Si X est une partie d'un topologique E, les notions "fermé de X " et "fermé" (sous entendu de E) sont distinctes : Y X est un fermé de X SSI (c'est la définition) il existe F fermé (de E) tel que Y = X 
F .
Si X est fermé alors les fermés de X sont ceux de E qui sont contenus dans X.
Par exemple ]0 , 1] est un fermé de ]0 , 2] mais pas de 
Pareil pour les ouverts .
Il s'agit de montrer que U est "ouvert et fermé dans O " .
Si n 
* , u0 ,....,un sont dans E , [u0 ,....,un] désignera la réunion des segments [u0 ,u1],.....,,[un-1 ,un] et sera appelée chaine d'extrémités u1 et un
U est donc l'ensemble des x de O pour lesquels il exite une chaine d'extrémités a et x contenue dans O.
1.U est non vide :[a,a]est une chaine d'extrémités a et a contenue dans O donc a U.
2.Soit x U et soit [u0 ,....,un] une chaine d'extrémités a et x contenue dans O . Soit r > 0 tq BO(x,r) 0.
Si y BO(x,r) , [u0 ,....,un,y] est une chaine d'extrémités a et y contenue dans O donc y U. Cela prouve que BO(x,r) U .
U est donc ouvert .
3.Soit x un élément de O tel qu'il existe v : 
U convergente vers x et soit r > 0 tel que BO(x,r) O . BO(x,r) contient tous les v(k) pour k assez grand.
Soit N tel que v(N) BO(x,r) . Puisque v(N) U on peut trouver une chaine [a,....,v(N)] contenue dans O donc [a,....,v(N),x] est une chaine contenue dans O et donc x U.
Cela montre que U est fermé dans O.
bonsoir
Les précisions de kybjm sont trés importante
Sa réponse aussi
Cette question concerne les connexes par ligne brisée.
Précisément tout ouvert d'un evn connexe par arcs et connexe par ligne brisée.
(une ligne brisée est une courbe dont le support est de la forme : , comme décrit en haut, c'est-à- dire une succession de segments contigus ...)
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