Comme pour tout (x,y,z), (x²+y²-z; z²-3(x²+y²)) B, et que nous avons la norme infinie ça veut dire que :
|x²+y²-z| 1
et
|z²-3(x²+y²)| 1.
La propriété intéressante de la norme à laquelle je pense en premier (je ne garantis pas que ma méthode soit la meilleure !!) c'est l'inégalité triangulaire .
Donc si on prend :
|3(x²+y²-z)+ (z²-3(x²+y²))| 3 |x²+y²-z| + |z²-3(x²+y²)| 3+1 = 4 .
D'où, avec un rapide calcul on trouve :
|z² - 3z| 4
|z|.|z-3| 4.
Donc |z| est borné (il est possible d'enlever les valeurs absolues pour s'en convaincre )
De plus, |x² + y²| - |z| |x²+y²-z| 1
Ainsi on obtient une majoration pour |x² + y²|, donc pour |x| et |y|.

Donc ... on a que l'ensemble est borné (on est en dimension finie !! donc il reste juste à montrer que c'est fermé).

Prenons une suite convergente d'éléments de A (w_n)_n .
Alors chacune des composantes converge . Si pour tout n, w_n=(x_n,y_n,z_n);
il existe (x,y,z)=w, je ne redétaille pas les 4 limites ...
Comme pour tout n,
(x_n² +  y_n² - z_n; z_n² -3(x_n²+ y_n²)) \in B,
limite quand n -> l'infini de ces inégalités sera toujours dans B, B étant fermé .
Donc toute limite de suite d'éléments de A reste dans A ...
Voilà voilà.
Je répète il y a plus simple je pense ... Mais c'est ma première idée . Bon courage pour les partiels !

1.Les applications f : (x,y,z) x² + y² - z et g : (x,y,z) -3(x² + y²) + z² sont continues et si K = [-1 , +1] on a   : A =  f^-1(K) f^-1(K) .
A étant l'intersection de deux fermés est donc fermé.

Pour avoir une idée de A : On remarque que A est invariant par les rotations autour de l'axe 0z (A est de révolution autour de 0z)
Son intersection avec le plan x0z fait intervenir les paraboles d'équations : z = x² + 1 , z = x² - 1 et les hyperboles d'équations  : z² - 3x² = 1 et z² - 3x² = -1 .

Une remarque : Soit (x,z) vérifiant |x² - z| 1 et |z²-3x²| 1 . Posons t = x² alors . Alors |t - z| 1 et |z²-t| 1
L'ensemble F = {(t,z) . ||t - z| 1 et |z²-t| 1 } est plus facile à dessiner . Il permet de voir que A est borné .