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Topologie biscornue...
Bonjour à tous 
Je suis à la recherche d'un espace topologique infini dénombrable séparé et connexe. Bref, la totale quoi. 
Voici ce que j'ai fait pour l'instant:
D(O,1) le disque de centre O et de rayon 1 dans R² est compact. Donc pour tout n>0 il existe un recouvrement de D(O,1) par un nombre fini de boules de rayon 2-n. A n fixé, notons les x1,n,...,xf(n),n.
Je note X l'ensemble de ses points. J'appelle T la plus petite topologie (ie la plus grossière, fatalement ) dont les B(xn,m,2-m) sont des ouverts; une sorte de topologie engendrée si vous préférez. T existe!
Et donc, vous l'aurez compris, j'essaie de prouver que (X,T) répond au problème.
Infini: Ok.
Dénombrable: Ok.
Séparé: Ok.
Connexe: ben pas (encore?) ok... 
Il a une tête de connexe, du moins pour moi. Ceci dit j'arrive pas vraiment à le prouver. La caractérisation de la connexité que j'essaie d'utiliser c'est que toute fonction continue de X dans {0,1} est constante mais pour l'instant c'est pas vraiment génial. Faut dire que je ne me suis toujours pas vraiment servi de T et qu'il serait peut être temps. 
J'arrive pas à "voir" cette topologie, ses ouverts n'ont pas l'air très très commmode...
Un nain dix pour continuer? (Ou pour montrer que ce truc n'est pas connexe...).
Merci d'avance.
Ayoub.
Salut Ayoub,
T est plutôt la topologie engendrée par les traces sur X des boules .
On pourrait voir si X muni de la topo induite de IR² ne donne pas le même espace, et donc il serait métrisable.
Si c'est le cas, on pourrait ensuite voir si X est compact et bien enchaîné et conclure.
Sinon T doit pouvoir s'exprimer simplement comme la topologie engendrée par les intersections finies d'unions quelconque des traces sur X des boules .
Salut
Oui, j'ai oublié de le préciser mais on prend les traces évidemment.
On pourrait voir si X muni de la topo induite de IR² ne donne pas le même espace, et donc il serait métrisable.
J'espère pas, d'ailleurs ça m'étonnerait. Le but d'une telle construction est précisemment d'éviter que ces deux topologies soient équivalentes. Le problème avec les espaces dénombrables c'est que si on a trop d'ouverts, on peut facilement en trouver un qui soit aussi fermé.
Par contre, pour la compacité, je pense que c'est gagné avec BL vu que T est incluse dans la topologie naturelle de D(O,1).
Sinon T doit pouvoir s'exprimer simplement comme la topologie engendrée par les intersections finies d'unions quelconque des traces sur X des boules B(x_(n,m), 2^(-m)).
C'est sa définition non? :S
oui mais une partie de IR² muni de la topo induite n'a pas forcément trop d'ouverts, par exemple en a très peu.
Enfin je ne vois pas pourquoi T est moins fine que la topo induite de celle de IR², je vais essayer de creuser ça dans la soirée.
En tout cas chapeau pour avoir eu l'idée d'utiliser BL pour construire un tel espace, ça c'est du feeling 
(même si ça ne marcherait pas).
Si on oublie T un moment et qu'on regarde la X muni de la topologie induite, il est toujours infini dénombrable, séparé, il me semble (mais j'ai pas vérifié) qu'il est aussi bien enchaîné et compact aussi.
oui mais une partie de IR² muni de la topo induite n'a pas forcément trop d'ouverts, par exemple Q*Q en a très peu.
Q*Q pour la topologie induite en beaucoup je trouve: une infinité indénombrable!
Enfin je ne vois pas pourquoi T est moins fine que la topo induite de celle de IR², je vais essayer de creuser ça dans la soirée.
Parce qu'il n'y a qu'un nombre dénombrable de boules déjà, enfin, je crois bien...
Ca n'a pas trop de sens de parler de boules vu que mon espace n'est pas métrique (et que je n'ai aucune envie qu'il le devienne) mais tu vois ce que je veux dire non?
Si on oublie T un moment et qu'on regarde la X muni de la topologie induite, il est toujours infini dénombrable, séparé, il me semble (mais j'ai pas vérifié) qu'il est aussi bien enchaîné et compact aussi.
Ah non justement, c'est pas connexe, ya trop d'ouverts. Si on prend par exemple X = Q² inter D(O,1). C'est très facile de trouver un cercle de centre O sur lequel il n'y aucun point dont les 2 coordonnées soient rationnelles.
Je vois vraiment pas ce qui te fait pensé que ta construction est forcement conexe... je veux bien croire qu'il est possible de choisir les xi telle que le tous soit conexe... mais si on les prends quelconque ca n'as aucune raison d'etre vrai.
dans l'absolue je suis pas convaincu qu'un telle espace existe en fait. déja on peut voir qu'un espace infini dénombrable normale ou de Tychonof n'est jammais connexe.
de meme un espace compact,séparé et connexe dénombrable est automatiquement un singleton (sauf erreur, compact (+séparé) => normale)
encore pire, si on suppose que l'espace est juste localement compact c'est pareil.
enfin... je vais quand meme chercher un peu ^^
*déja on peut voir qu'un espace infini dénombrable normale ou de Tychonof n'est jammais connexe.
>>> on voit cela avec le Lemme d'Urysohn qui assure entre autre que dans ce cas on à des fonction non constance de X->R...
Je vois vraiment pas ce qui te fait pensé que ta construction est forcement conexe... >> Moi non plus, je suis de moins en moins convaincu...
Par contre je peux assurer son existence, l'auteur de l'exo est assez fiable.
Et oui, l'espace sera moche et n'aura aucune propriété intéressante: pas de compacité, la connexité sera même pas connexe par arcs... bref pas un truc très très beau.
lol :p
tu devrait poser la question à Pépin ceci dit (est-ce que ca existe des espace topologique dénombrable séparé connexe)... c'est bien le genre de chose qu'il sait peut-etre ! (et si il te donne un exemple, raconte moi ! )
sinon j'irais jeter un oeil dans le "counterexemple in topology" la prochaine fois que je vais à l'ecole (soit demain soit vendredi...) ce genre de truc est peut-etre dedans...
Je lui demanderai jeudi alors.
sinon j'irais jeter un oeil dans le "counterexemple in topology" >> Parce qu'il est au lycée ce livre? C'est bon à savoir ça.
Non je crois pas vraiment qu'il soit au lycée (c'est pas impossible, mais le rayon math est tellement petit que c'est peu probable quand meme ^^ ). quand je disait l'école c'était l'ENS, mais vu qu'en ce moment je suis des cours à Orsay j'y suis pas tres souvent...
ouhlàlà effectivement j'ai dit plein de bêtises
merci pour le lien sur FS Ayoub.
sinon j'irais jeter un oeil dans le "counterexemple in topology" >> Parce qu'il est au lycée ce livre? C'est bon à savoir ça.
dans notre BU on a tout un étage de bouquins de maths, il y est même pas. Si otto savait ça, il s'arracherait les cheveux
Un exemple tiré du counterexemple in topology (60 : relatively prime interger topology) :
On considère la topologie sur N* dont les ouvert sont les Ua(b)={b+na, n dans Z} avec a et b premier entre eux. (bien entendu le premier entre eux est tres important : il on le met pas on tombe sur une topologie beaucoup plus classique, mais franchement pas connexe...)
1) c'est bien une topologie (pas trop difficile)
2) elle est bien séparé (pas trop difficile non plus)
3) elle n'est pas conexe (un peu plus difficile, il faut remarquer que si tu as deux ouvert quelconque, leurs adhérence ne sont jammais disjointe...)
Si tu ne trouve pas tous seul, je détaillerez la connexité plus tard....
Oups, lapsus je voulait dire "elle est connexe" :S
en effet :
un ouvert de cette topologie contient toujour un Ua(b) (puisque c'est une base d'ouvert). cherchons maintenant un fermé qui contiens Ua(b), il va etre inclu dans un fermé de la forme "complaimentaire de Uf(g)", on vérifie alors que dans ce cas f est neccessairement non premier avec a, et donc tous les elements non premier avec a ne peuvent pas etre dans Uf(g) et sont dans tous les fermé contenant Ua(b).
donc si tu as deux ouvert U,V. U contiens Ua(b), V contiens Ua'(b'), le nombre aa' est alors à la fois dans l'adhérence de U et dans l'adherence de V : deux ouvert ont des adherence qui ne sont jammais disjointe.
du coup c'est pas possible d'avoir une partition en deux ouvert/fermé puisqu'ils sont égaux à leur adhérence et qu'elle ne peuvent pas etre disjoint
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