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Topologie d ultramétrique boule fermé
Bonsoir à tous
d(x,z) 
max( d(x,y) , d(y,z) ) 
x,y,z 
E
Montrer que Bo(x0,r) est un fermé de E:
Soit (xn) une suite de Bo(x0,r) qui converge vers x dans E.
(xn) converge vers x:
>0, 
N
, n>N => d(xn,x)<.
En particulier =r, N tel que n>N => d(xn,x)(r/2)
d(x0,x) max( d(x0,xN+1),d(xN+1,x) ) < r
=> d(x,x0) < r
=> xBo(x0,r)
=> Bo(x0,r) est un fermé de E
questions:
1). Est-ce que cette démonstration peut correspondre à ce schéma ?
2). Est-ce que x peut appartenir à certaines boules ouvertes ?
3). Pourquoi d(x0,x) max(d(x0,xN+1),d(xN+1,x) ) < r 
c'est le N+1 que je ne comprends pas !
4). d(xn,x)(r/2) pourquoi r/2 ?
5). Pourquoi conclut-on que c'est un fermé de E ?
=> xBo(x0,r)
Merci d'avance pour votre aide 
Bonsoir,
1) pas très clair ton schéma;
2) peut appartenir à n'importe quelle boule ouverte centrée en
, par exemple.
3) dans la démo il est montré que pour (ou
), on a
(en particulier
) et comme
,
on a bien (en particulier
).
4) on a choisit , parce que
, mais on aurait pu choisir n'importe quel
.
5) on conclut que cette boule est fermé parce qu'elle contient les limites des suites de points de cette boule qui sont convergentes dans cette boule (caractérisation séquentielle d'un fermé)
Bonsoir romu
Ah d'accord, meci pour tes explications, j'ai tout compris 
1). Pour la Q2) en gros c'est "une sorte" d'union de boules ouvertes qui converge vers x ?
En fait c'est un exercice dans lequel l'énoncé est le suivant:
Un espace métrique (E,d) est ultramétrique si:
d(x,z)max(d(x,y),d(y,z)) x,y,zE
2).
Montrer que les boules ouvertes et les boules fermées sont à la fois des ouverts et des fermées ?
Quand on devait montrer que les boules ouvertes étaient ouvertes, pourquoi on a pas simplement dit d'après une définition:
Toute boule ouverte est un ouvert
(idem pour les boules fermées qui sont fermées à cause:
toute boule fermée est un fermé
Est-ce que c'est parce que (E,d) est ultramétrique ?
Merci pour ton aide et tes explications
Pour la Q2) dans un espace métrique n'importe quelle boule centrée en x contient x par définition
(si on ne s'autorise pas le rayon 0, bien entendu)
Pour la question 2), tu as du voir qu'un espace ultramétrique est un espace métrique,
donc tu dois savoir qu'une boule ouverte est ouverte et une boule fermée est fermée.
ce qu'on a de plus dans un espace ultramétrique c'est que les boules ouvertes (resp. fermées) sont aussi fermées (resp. ouvertes).
Ok, merci pour tes explications
Encore 2 questions:
1/. En ce qui concerne la famille d'ouverts de (E,d) un espace métrique:
D'aprés une proposition on sait que:
A,B
Td => A
B Td ma question: Est-ce que c'est valable pour 3, 4, 5 ......ensembles ?
ie: A,B,C
Td => ABCTd ?
2/. En ce qui concerne la famille des fermés de (E,d) un espace métrique:
D'aprés une proposition on sait que:
A,B
Cd => A
B Cd ma question: Est-ce que c'est valable pour 3, 4, 5 ......ensembles ?
ie: A,B,C
Cd => ABC Cd ?
Ou alors ces deux questions ne sont valables que pour deux ensembles uniquement ? (ie: A
BTd et ABCd
Merci d'avance pour ta réponse
1) oui par récurrence tu généralises le résultat: toute intersection finie d'ouverts est ouverte.
2) de même
Bonsoir romu
Ok, pour 1) et 2) en fait le mot important est: "finie"
Une dernière question pour la fin si tu veux bien:
Dans un exo on dit:
"Les suites (xn) et (yn) sont bornées <=> {xn/n} {yn/n} est bornée "
ie: 2 suites sont bornées ssi leur union est bornée
Est-ce une propriété ? (Ou alors on l'a déduit de mon exo ?)
Merci pour ton aide
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