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Topologie de X
Bonsoir , je me permet de poster ce problème que je n'arrive pas à résoudre sur le forum:
Topologie de On munit
de la topologie produit, qui peut s'interpréter comme la topologie de la convergence simple pour les fonctions de
. Le théorème de Tychonov général nous dit que
muni de la topologie produit est compact.
- Quelles sont les suites convergentes de ?
- On considère la suite de fonctions , où
associe à
, sa
-ième décimale. Montrer que la suite
n'a pas de sous-suite convergente.
- La topologie de la convergence simple sur est-elle métrisable?
- Concernant les suites convergentes de X je ne sais pas j'aurai tendance à dire que ce sont les suites stationnaires mais j'en suis pas sûr , et je ne sais pas par quel arguemnt.
-Je suppose que c'est par absurde , en considérant que elle admet une sous suite convergente on pourra prendre une valeur dans [0,1] qui ne converge pas.
-Je ne pense pas que cette topologie soit métrisable car elle n'est pas séparée.
Bonjour,
Quand l'énoncé te dit que la topologie est la topologie de la convergence simple, ça devrait te suggérer fortement ce que sont les suites convergentes. Est-ce qu'une suite de fonctions de [0,1] dans {0,1,...,9} qui converge simplement est nécessairement stationnaire ?
Effectivement , On peut considérer la fonction indicatrice qui n'est pas stationnaire. Dans ce cas peut-on dire que ce sont les suites qui convergent uniformément , c'est à dire que pour chaque x dans [0,1] la séquence aura une limite commune ?
Pardon , je suis encore novice en topologie . En soit la définition de la convergence simple me laisserait penser que juste il existe un certain N , à partir du quel pour tout x et pour tout n>=N ,fn(x)=f(x) et c'est pour ça que je pensais aux suites stationnaires . Sinon vraiment je sais pas .
Tu ne sais pas ce que veut dire qu'une suite de fonction définies sur un intervalle
converge simplement vers une fonction
?
Il me semble qu'on voit ça avant d'étudier la topologie.
Une suite de fonction fn converge simplement vers une fonction f dans I si et seulement si . Mais la réponse ne me parait pas complète .
Je m'explique : Du moment que j'ai qui est défini comme étant les fonctions de [0,1] vers {0,1,....,9} il me manque forcément un élément pour parler des suites convergentes de X . Puisque je n'ai pas utilisé le fait que je converge vers un chiffre .
Je ne trouve aucun exemple de suite de fonctions qui converge simplement et qui n'est pas stationnaire dans ce cas précis . Je trouve quand même que fn(x) =1/nx n'est pas stationnaire mais converge simplement . Mais le problème est que elle n'est pas à valeurs dans {0,1,........9}
Essaie de repartir sur de bonnes bases. Ne veux-tu pas me donner la définition de "La suite de fonctions définies sur l'intervalle
converge vers la fonction
" ?
Tu oublies des quantificateurs. Or visiblement tu es mal parti parce que tu t'emmêles dans l'ordre des quantificateurs. Je cite : " il existe un certain N , à partir du quel pour tout x".
Pour éviter ce genre d'erreur, il est crucial de bien expliciter les quatificateurs.
Bien, on est d'accord. J'ai oublié l'adverbe "simplement, et toi aussi, mais c'est bien de convergence simple dont on parle.
Ici, les fonctions sont à valeurs dans {0,1,...,9}. Tu peux reprendre ton idée de stationnarité, en faisant bien attention à l'ordre des quantificateurs.
Une suite (fn) est dite stationnaire s'il existe un rang n0 à partir duquels tout les termes de la suite sont égaux :
∃n0∈N ∀n≥n0 fn=fn0
.
Il s'agit d'exprimer le fait qu'une suite d'éléments de
converge simplement vers
, en tenant compte du fait que les fonctions de
sont à valeurs dans
.
Tu as eu l'idée correcte qu'une suite de réels dans converge si et seulement si elle est stationnaire. Mais ici, on parle de convergence simple de fonctions à valeurs dans
.
Maintenant tu as mis les quantificateurs dans le bon ordre (compare avec ton message de 12:38).
Tu peux passer à la deuxième question. Tu avais une idée de départ, poursuis-la.
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