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Topologie - ensembles disjoints

Posté par
Melomelira 22-04-23 à 15:33

Bonjour

Je n'arrive pas à prouver ce que l'exercice suivant demande


soit E convexe non vide, de \mathbb{R}^n soient U_1, U_2 deux ouverts de \mathbb{R}^n tels que
E \subset U_1 \cup U_2 et E \cap U_1 \cap U_2 = \emptyset . On suppose x_1 \in E \cap U_1 et x_2 \in E \cap U_2.
Soient V_1 = \{ t \in \mathbb{R} : (1-t)x_1 + tx_2} \in U_1 \} et   V_2 = \{ t \in \mathbb{R} : (1-t)x_1 + tx_2} \in U_2 \} .
Montrer que V_1 \cap V_2 = \emptyset .

Je ne vois vraiment pas quoi faire à part tourner en rond...
Je remerci d'avance les personnes souhaitant bien m'aider

Posté par
Rintarore : Topologie - ensembles disjoints 22-04-23 à 15:50

Bonjour,

tu es sûr que E est convexe ? Dans ce cas, on a nécessairement U1 ou U2 vide,  vois-tu pourquoi ?

Posté par
Melomelirare : Topologie - ensembles disjoints 22-04-23 à 15:59

Rintaro @ 22-04-2023 à 15:50

Bonjour,

tu es sûr que E est convexe ? Dans ce cas, on a nécessairement U1 ou U2 vide,  vois-tu pourquoi ?


Bonjour merci pour votre réponse

Oui c'est sûr, j'ai recopié les informations de l'exo et c'est supposé convexe
En fait, le theme general de l'exo c'est de montrer que les convexes de R^n sont connexes par l'absurde.

Sinon je ne vois pas pourquoi U_1 ou U_2 serait vide désolé...

Posté par
Rintarore : Topologie - ensembles disjoints 22-04-23 à 16:18

Ah, ça change tout ! Il faut préciser "par l'absurde, supposons E inclus dans l'union de deux ouverts (etc...)". Justement, je dis ça parce qu'un convexe est connexe . On va suivre la trame de l'exercice alors.

Pour montrer que l'intersection est non vide, suppose par l'absurde qu'il existe un élément à la fois dans V1 et dans V2. Si tu utilises la description de ces deux ensembles et une hypothèse sur E, la contradiction tombe assez vite.

Posté par
Melomelirare : Topologie - ensembles disjoints 22-04-23 à 16:30

Rintaro @ 22-04-2023 à 16:18

Ah, ça change tout ! Il faut préciser "par l'absurde, supposons E inclus dans l'union de deux ouverts (etc...)". Justement, je dis ça parce qu'un convexe est connexe . On va suivre la trame de l'exercice alors.

Pour montrer que l'intersection est non vide, suppose par l'absurde qu'il existe un élément à la fois dans V1 et dans V2. Si tu utilises la description de ces deux ensembles et une hypothèse sur E, la contradiction tombe assez vite.


Ah daccord, désolé....

Oui j'étais parti sur ça, j'aimerais bien en déduire qu'il est dans E mais je ne vois pas comment faire...

Posté par
Rintarore : Topologie - ensembles disjoints 22-04-23 à 16:41

Peux-tu me rappeler la définition d'un convexe ?

Posté par
Melomelirare : Topologie - ensembles disjoints 22-04-23 à 16:44

Rintaro @ 22-04-2023 à 16:41

Peux-tu me rappeler la définition d'un convexe ?


Pour moi c'est :

\forall t \in [0;1]   \forall (x_1,x_2) \in E \times E,    (1-t)x_1 + tx_2 \in E

Le problème c'est que pour V_1 et V_2, t peut être n'importe quel réel, si il est dans [0;1] c'est immédiat mais sinon j'ai pas l'astuce pour ramener au cas [0;1]...


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