Bonjour.

Oui, on peut s'en tirer facilement en utilisant la continuité.
Est-ce que tu ne peux pas exprimer ton ensemble comme l'image réciproque d'un fermé par une application continue ?

Bonsoir didine16,

Regarde ton ensemble et dit à haute voix ce qu'il signifie. Tu vas vite comprendre où veut en venir Arkhnor....

Merci pour votre réponse.

On a un exemple dans le cours mais il est beaucoup plus simple et je l'ai compris mais là on a une fonction rationnelle et ça me bloque.

J'ai essayer en mettant f°g mais je ne sais pas faire .

Je vous remercie de prendre du temps pour m'expliquer!

La rationalité de la fonction n'a absolument rien à voir dans la question! (d'ailleurs ce n'est même pas une fonction rationnelle).....

Que te dit ton cours?
Sur cette question, tu es déjà sur la bonne voie....

Que représente cet ensemble que tu essaies de décrire?

si je définie f: R->R x-> sin(x)/exp(x)

est-ce que l'on a f^-1 ({-1/2}) avec {-1/2} est fermé donc f^-1(...) est fermé et on peut conclure que f est fermé ?

merci

ça dépend!

ta fonction est-elle continue?

A = f^-1 ({-1/2}) qui est fermé comme image réciproque d'une application continue par un fermé

erreur dans mon message au-dessus ou jai mis que f est fermé alors que c'est l'ensemble A pardon.

Dans l'ensemble B ={x € R* / sin(1/x) < 1/2 } on doit composer l'application ? est-ce que le 1/x nous pose problème ?

Merci encore !!!

C'est okay pour le A

Maintenant B,

Pour voir si le 1/x te pose problème regarde où sont pris les x de ton image réciproque (je suppose que tu avais compris que cet ensemble est aussi une image réciproque non?)......
Il y a également une imprécision, tu dois dire dans quoi ces ensembles sont ouverts ou fermés (et oui ce sont des notions relatives)....

Oui excusez moi c'est un fermé ou ouvert de R , nous sommes d'accord.

si je définie ma fonction f tel que x associe sin(1/x), f est continue sur R
on aura B = f^-1 ( ]-infinie , 1/2[ )

c'est juste pour le moment ? et cet intervalle est un ouvert donc B est ouvert comme image réciproque d'une application continue par un ouvert .

Merci.

Justement je t'ai fais la remarque parce que pour le B, c'est différent. Regarde comment B est défini et dis moi où il faut prendre les x....

Donc j'aimerais que tu répondes à ta question, à savoir est-ce que le 1/x pose problème?

Ensuite si la fonction est continue sur R, je voudrais bien savoir sa valeur en 0 (si tu peux ma la calculer dans R, je dis chapeau).....

Sinon le raisonnement, une fois appliqué à des choses cohérentes, me parait bon....

Oui désolé j'ai oublié de préciser certaines choses à savoir que f est défini sur R*, f est continue sur son domaine de définition.

Sinon au brouillon j'avais fais pas mal de choses du coup j'étais plus sur de rien,
entre autre j'avais écris que

si 1/x € ]-infinie , 1/2[    alors x € ]0,2[.

Est-ce que cela semble plus raisonnable ?
On aurait donc B = f^-1 ( ]0,2[ )

et cet intervalle est un ouvert donc B est ouvert comme image réciproque d'une application continue par un ouvert .

Merci pour votre aide !

Ce que tu mets n'est pas complet. Ta fonction est sin(1/x) et non 1/x. A la louche, je suis presque sûr qu'il y à d'autres x qui vérifie cela en dehors de ]0;2[ (par exemple 1/(0.0000000001), si tu prends son inverse 0.0000000001 son sin est très petit et le nombre est très grand).......n'oublies pas que tu manipules un sinus et donc des intervalles périodiques.....

Qui plus est, même à supposer que ]0;2[ soit correct ce n'est pas f^-1(]0;2[) mais f^-1(]-oo; 1/2[)=]0;2[! Tu mélanges image réciproque et ensemble d'arrivée......

Sinon, f est bien continue sur R*.....mais comme je te l'ai dit la notion d'ouvert et de fermé est relative, donc B n'est pas ouvert ou fermé, il est ouvert ou fermé dans ...? (Parce que dans R, ça m'étonnerait même si je ne suis sûr de rien)...

Merci mais je ne comprend toujours pas comment trouver la bonne réponse pour l'ensemble B ! Je vois vraiment pas comment faire et quel résultat on doit obtenir ... Merci !

Tu n'as pas besoin d'essayer de décrire explicitement ton ensemble d'ailleurs.

Il suffit de dire que sin(1/x) est continue sur R*. Donc que l'ensemble f^-1(]-oo; 1/2[ est un ouvert DE R* en tant qu'image réciproque d'un ouvert par une fonction continue (sur R*).

Si on a une fonction continue d'un espace dans un autre (ici de R* dans R), un ouvert/fermé de l'espace d'arrivé (R) aura pour image réciproque un ouvert/fermé DE l'espace de départ (R*).

Ton ensemble est ouvert dans R* mais tu ne peux pas dire s'il est ouvert (ou fermé) dans R avec cette donnée car f n'est pas continue sur R. Qui plus est la définition de ton image réciproque te dit implicitement où on doit prendre les x, et par conséquent dans QUOI ton ensemble (image réciproque) est ouvert/fermé/rien-du-tout....

Tu vois mieux où je voulais en venir?

Remarque : dans tes messages tu demandes souvent "l'ensemble  truc est-il fermé ou ouvert"  : es-tu consciente que la plupart des ensembles ne sont NI fermés NI ouverts ?

Merci pour toutes ses explications, j'ai bien compris pour sin(1/x).
merci pour votre patience et votre aide.

Lolo271: je demande si c'est un ouvert ou fermé de R car c'était dans la consigne, il n'y avait pas d'autre alternative ce n'était pas pour nous piéger c'était sois ouvert soit fermé, mais je suis consciente qu'il existe des ensembles ni ouverts ni fermés un exemple très simple est Q !!! merci pour cette remarque.