Bonjour

Si une suite converge, il en est de même de la suite des normes. Donc ||x_n|| est convergente, donc bornée!

merci de me consacrer un peu de temps, mais pouvez-vous développer un peu votre explication? je suppose que cela s'explique par les propriétés de base que l'on voit en 1ere année, mais à vrai dire je ne m'en souvient plus vraiment.

Bonjour (et bonjour Camélia).
Si tu ne t'en souviens plus, il serait bon de les réviser non ? Parce que c'est plus qu'élémentaire et que si tu ne sais pas qu'une suite convergente est bornée tu peux laisser tomber la topologie générale...

en ce qui concerne _n est-ce qu'il faut dire qu'elle est une sous-suite de x_n?

Aïe! est un scalaire!

C'est tout-à-fait général! Si est une suite qui tend vers x, on a



donc la suite des normes est convergente, donc bornée.

Salut otto

la question exacte est : conclure que la suite de nombres réels (_n est bornée. en sachant (x_n) bornée. donc on suppose que (_n) est bien une suite.

Oui, mais ce n'est pas une sous-suite!

donc elle est aussi bornée que

d'accord, j'en déduis que _n admet une sous-suite convergente (d'après Bolzano-W) et on appelle la limite de cette sous-suite. on nous demande de montrer que (x_n) converge vers .z et que F est un fermé ( il me suffit de montrer que .z F mais je ne sais comment faire).

Par définition

Ton exercice ne demande que très peu de reflexions.
Tu as tes lambda_n dont tu extrais une sous suite convergente vers disons lambda, donc que dire de
lambda_n.x-lambda.x ? (en norme ?)

Pour le caractère fermé, c'est élémentaire, est ce qu'une suite de la forme lambda_n.x qui converge, converge nécessairement vers quelque chose de la forme scalaire.x ?

cette histoire de convergence vers lamdba.z reste très flou

Je pense que tu ne connais pas ton cours parce que ca n'a rien de très flou c'est au contraire très simple.

Ca ne me tente pas d'écrire en latex, donc les lambda je vais les appeler a.

Tu as un vecteur x que tu as fixé au départ et tu sais que a_n.x est convergente. Donc clairement la norme ||a_n.x|| est convergente et cette norme est tout simplement |a_n|. Ainsi par le théorème de B.W. il existe une sous suite des a_n, disons a_n_k qui est convergente vers un certain nombre, disons a.

Que dire de ||a_n_k.x-a.x|| ?
Bin clairement par définition d'une norme c'est la meme chose que
||x|| . |a_n_k-a|
et tu viens de dire que |a_n_k-a|  tendait vers 0, donc c'est terminé...

Ainsi tu sais que a_n_k.x tend vers a.x, i.e. a.x est la limite de ta sous suite.
Or tu sais au départ que a_n.x converge et tu as trouvé la limite d'une sous suite, donc en fait tu as trouvé la limite de la suite de départ (par unicité de la limite).

La limite est de la forme a.x donc encore de la même forme que les éléments de ta suite, donc ton ensemble est fermé. CQFD.

merci à vous, c'est maintenant plus claire pour moi et j'ai ainsi pu finir mon exercice ( les questions suivantes découlant des résultats précédents).