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Topologie : ou est l'erreur ?
Bonjour à tous,
Si j'ai un groupe topologique G et un sous groupe de G que j'appelle H, quand est-ce que G/H sera compact pour la topologie quotient ?
J'ai envie de dire que si G est compact, alors G/H est compact pour la topologie quotient. En effet, par définition de la topologie quotient, la surjection canonique G->G/H est continue, et G/H est compact comme image d'un compact par une application continue.
Mais dans mon cours, j'ai vu que si H est fermé et G séparé, alors G/H muni de la topologie quotient est séparé. Ce qui sous entend que si H n'est pas fermé, le résultat serait faux... Et que donc même si mon G est compact, si je prends un sous groupe H non fermé, alors G/H ne sera pas séparé, et donc encore moins compact...
Ces deux raisonnements me semblent justes mais arrivent à des résultats contradictoires : où est l'erreur ?
Merci de votre aide !
Ok le problème c'est justement que l'image d'un copmpact par une application continue n'est pas toujours compact : il faut en plus que l'espace d'arrivée soit séparé.
Salut. 
En fait, l'image d'une partie quasi-compacte par une application continue est quasi-compacte, mais on a rien de tel pour un compact. (quasi-compact signifie "vérifiant la propriété de Borel-Lebesgue", avec les recouvrements d'ouverts)
Il faut quand même faire attention, certains n'exigent pas la séparation dans la définition de la compacité (cf les anglophones 
)
Oui oui, j'ai réalisé juste avant que tu postes !
En fait jusqu'en L3, on parlait que d'espace métriques dont on exigeait pas la séparation de l'espace d'arrivée (qui était acquise d'office). Voilà d'où vient mon oubli...
Merci !
on parlait que d'espace métriques dont on exigeait pas la séparation
Tu veux parler d'espace topologique, parce qu'un espace métrique est toujours séparé.
Non justement ; on travaillait que dans des espaces métriques, qui sont séparéq (c'est pour ça que j'ai écrit "la séparation est acquise d'office"). On pouvait donc écrire "f continue et X compact => f(X) compact" puisque l'espace d'arrivée de f était un espace métrique.
Bref on est d'accord.
Bonjour
Très en retard! Même si on part d'un espace métrique, la séparation d'un espace quotient n'est pas du tout garantie et rien ne prouve qu'un quotient d'espace métrique soit métrisable. Prends le sous-groupe additif H de R engendré par 1 et 
et regarde l'horreur R/H!
H est dense dans IR, ie tout ouvert non vide rencontre H.
Par définition de la topologie quotient, tu sais que si U est un ouvert non vide de R/H alors est un ouvert non vide de IR.
Après il faut utiliser le fait que H est dense dans IR pour montrer que , et donc que U=R/H.
Salut Camélia, pardon de te déranger, mais pourrais-tu stp venir donner ton avis sur cette question: 
classement des topics d'analyse complexe ? Il est important que le maximum d'oranges se prononcent!Merci! 
D'accord, merci! Ce n'est pas urgent de toute façon, mais je voulais m'assurer que tu avais connaissance de ce topic!
Même si on part d'un espace métrique, la séparation d'un espace quotient n'est pas du tout garantie et rien ne prouve qu'un quotient d'espace métrique soit métrisable.
C'est bien pour ça qu'ils ont dû passer à la « vraie » définition d'espace topologique avant de pouvoir parler de topologie quotient
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