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Topologie :-s

Posté par
tazia 26-04-09 à 18:33

Bonjour!

On nous donne la fonction continue f: IRIR. On étudié IR² avec la norme euclidienne. Il faut montrer que le graph. de f c'est À dire l'ensemble {(x,f(x)):xIR} est fermé dans IR².
( en sachant que MX est fermé si et seulement si x(k)x dans X et k: x(k)M implique que xM (ce que j'ai déjà montré)).

J'espère que vous pouvez m'aider
Merci d'avance

Posté par
Tigweg Correcteurre : Topologie :-s 26-04-09 à 18:54

Guten Tag, tazia!

Choisis une suite 4$\displaystyle\blue (x_n,f(x_n)) du graphe de 4$\displaystyle\blue f, et suppose que cette suite converge vers une limite 4$\displaystyle\blue (x,y).Tu dois prouver que cette limite est encore dans le graphe, ce qui s'écrit 4$\displaystyle\blue y = f(x). A toi!


Posté par
taziare : Topologie :-s 26-04-09 à 19:09


Guten Tag, tigweg

On sait que f est continue, soit x(n) une suite qui converge vers x on aura donc d(x(n),x)0 alors >0 >0 tel que d(x',x)< on aura donc d(f(x'),f(x))< ensuite N nN on aura d(x(n),x)< finalement nN: d(f(x(n)),f(x))< on a donc lim f(x(n))=f(x)=y quand n tend vers l infini (j'espère que c'est à peu pres ca)

Posté par
Tigweg Correcteurre : Topologie :-s 27-04-09 à 00:23

Je n'ai pas compris ce qu'était ton 4$\displaystyle\blue x^'.

En fait il n'y a pas besoin de 4$\displaystyle\blue \epsilon, il suffit de dire que 4$\displaystyle\blue (x_n,f(x_n))\to (x,y) signifie 4$\displaystyle\blue x_n\to x et 4$\displaystyle\blue f(x_n)\to y.

Or, par continuité on aura 4$\displaystyle\blue f(x_n)\to f(x), et par unicité de la limite (l'espace 4$\displaystyle\blue \mathbb R est séparé) il vient 4$\displaystyle\blue y=f(x), c'est-à-dire que la limite 4$\displaystyle\blue (x,y) trouvée est encore dans le graphe de 4$\displaystyle\blue f.Ce dernier est donc fermé.


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