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tribus et espaces mesurables
Bonjour,
J'ai un petit problème avec un exercice auquel je ne comprends pas grand chose !
Aidez moi svp ! merci d'avance.
Enoncé:
Le but de cet exercice est de prouver qu'il n'existe pas d'espace mesurable (E,
) avec infini dénombrable.
1) Si E est fini, conclure
2) Supposons E de cardinal infini de et infini dénombrable. Pour tout x
E , on note Ax = 
A ( A, A
x )
a) Montrer que pour tout x on a Ax
b) Montrer que les Ax forment une partition de E, c'est-à-dire que 
x Ax = E et si x
y alors Ax = Ay ou AxAy = 
c) Soit F = ( B 
E : 
xE, B = Ax ). Montrer que F est une partition (au plus ) dénombrable de E .
d) Montrer que est la tribu engendrée par F . conclure .
:?:?:?:?
Supposons que E soit un ensemble non fini et T une tribu sur E qui soit infinie mais dénombrable.
1.Si x E on pose A(x) = { X T ; x X }. Comme T est dénombrable on a A(x) T et bien sûr x A(x) .
2.La relation R sur E définie par x R y SSI A(x) = A(y) est une équivalence. L'ensemble S des classes d'équivalences pour R est une partition de E .
3.S engendre T :
Soit en effet X T . Comme pour tout x E on a A(x) S on a aussi : X = { A(x) ; x X } 
(S) .
Ainsi T (S) et donc T = (S)
4.Soit P(S)l'ensemble des parties de S et si F P(S) soit 
(F) = 
F = { x E ; X F tq x F }
est bijective de P(S) sur T
Or si S est fini P(S) l'est aussi et si Si S est infini (dénombrable) P(S) est infini non dénombrable .
C'est la contradiction recherchée
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