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Une conséquence de Hahn Banach ?
Bonjour !
Dans une démonstration de mon cours, il ya un passage qui me laisse perplexe.
On a un espace vectoriel normé (E,||.||). On fixe x dans E.
Et là le prof dit : d'après Hahn Banach, il existe f dans E* (le dual de E) telle que f(x)=||x|| et |||f|||=1.
Peut-on m'expliquer pourquoi ?
J'ai essayé de démontrer cette affirmation, dites moi si c'est bon.
x fixé dans E. D'après un corollaire de Hahn Banach, il existe f dans E* tq f(x) 
0. On pose f(x) = 
0.
On défini g : 
x 
par g(tx)=t*||x|| (t 
).
g est linéaire, et g(tx)=t*||x|| 
||t*x|| donc |||g||| = 1 (sup atteint en x).
Par Hahn Banach, on peut prolonger g en h sur E tout entier, avec |||h|||=1, et h(x)=||x||.
Qu'en pensez vous...?
Salut !
oui ta demo ma l'air juste... enfin ... tous depend de l'enoncé de Hahn Banach qu'il y a dans ton cours... mais il y a des facon de l'énoncé qui rendent ce que tu viens de faire tous à fait juste ^^
Merci Kslver !
Mon énoncé est le plus général qui existe (je crois !) pour un -ev
Il dit :
soit E un -ev, et p une application sous linéaire.
Soit F un sev de E, et f F* telle que f p
Alors il existe g E* telle que g coïncide avec f sur F, et g p.
en effet, c'est l'énoncé analytique le plus géneral ^^
donc il suffit d'appliquer avec p(x)=||x|| pour obtenir le résultat ! (le fait que f(x) <= ||x|| implique que |f(x)| <= ||x|| en prenant f(-x)...)
j'imagine que c'est ce que tu as fait.
y 
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