salut
c'est coherente cette affirmation .ce la resulte de deux lignes juste apres l'accolade

Soient K  un intervalle compact de et E l'ensemble des f : K qui sont continues. On pose , pour f E , N(f) = Sup{|f(x)| / x K} .
Soit n f_n E une suite vérifiant la propriété H suivante :
H : " Pour toute suite u : K qui converge on a : f_n(u(n)) 0 (qd n +)"
On veut montrer que la suite p : n N(f_n) converge vers 0.

Ton prof propose , dans sa correction , d'utiliser le th (qu'il a du te démontrer ) qui dit que si une suite de réels admet une valeur déadhérence a , mais pas d'autre , alors elle converge vers a et de l'appliquer à la suite p .

On commence par contruire une suite u : K telle que pour tout n on ait : |f_n(u(n))| = N(f_n)

1.O est valeur d'adhérence de p :
En effet la suite u   étant à valeurs dans le compact K on peut  en extraire une sous-suite convergente . Autrement dit il existe   : , stictement croissante , telle que
v = u o converge (vers un t K) . Alors p o (n) = N(f_(n)(u((n)) converge vers 0 puisqu'extraite de n |f_n(u(n)|

2.O est la seule valeur d'adhérence de p :
preuve:  Soit a une valeur d'adhérence de p . On peut trouver : , stictement croissante , telle que p o a .
La suite u o   étant à valeurs dans le compact K on peut en extraire une sous-suite convergente .
Soit   : , stictement croissante , telle que  v = u o o converge (vers un x K) .
En vertu de H la suite q : n |f _{o (n)}(u( o (n))|  extraite de n |f_n(u(n))| converge vers 0 .
Or n q(n) = N(f _{o (n)}( u( o (n))) = p o o (n) , extraite de p o converge vers a .
On a donc a = 0.
Ainsi 0 O est la seule valeur d'adhérence de p donc p 0

HORREUR

si une suite de réels admet une valeur d'adhérence a , mais pas d'autre , alors elle converge vers a  n'est pas un théotème .

Par exemple la suite définie par u(2n) = n , u(2n + 1) = 1/n pour tout n , n'a qoe 0 comme valeur d'adhérence mais , bien sûr ne converge pas !


Ce qui est vrai c'est
pour qu'une suite bornée u : converge il faut et il suffit , qu'elle n'admette qu'une valeur d'adhérence  

Plus généralement : Si (X,d) est un espace métrique compact , pour qu'une suite u : X converge il faut , et ça suffit , que l'ensemble de ses valeurs d'adhérence soit un singleton .