bonjour fade2black

oui, si x est un élément de il suffit de considérer l'image de V par l'application qui est clairement un homéomorphisme : cette image hérite des propriétés topologiques de V, la connexité et le caractère ouvert. De plus, comme e est dans V, x appartient à cette image.

Kaiser

Salut

Désolé je m'étais déconnecté un moment je n'ai pas pu te répondre l'autre jour. En fait la réponse est simple !

V est un voisinage connexe du neutre e ça veut donc dire qu'il existe un boule ouverte centrée en e contenue dans V. Cette boule ouverte est un ouvert, connexe et évidemment un voisinage de e.

Salut tous les deux,

kaiser-> je ne veux pas créer un voisinage de x à partir de V, je veux créer un voisinage OUVERT de e à partir de mon voisinage V qui n'est a priori pas ouvert.

Nightmare -> a priori, il n'y a pas de métrique définie sur G, si ?

bon ben dans ce cas, par définition d'un voisinage, V contient un ouvert V' qui lui contient x : à partir de là, il suffit de considérer l'image de v' par l'application que j'ai définie plus haut.

Au passage, salut Nightmare !

Kaiser

Je suis pas sûr d'avoir compris.

J'ai un voisinage du neutre qui est connexe, par hypothèse. Mais a priori, il n'est pas ouvert. Est-ce que je peux transformer ce voisinage du neutre V en un voisinage V' du neutre (du même point donc), qui soit toujours connexe, mais OUVERT en plus ?

Dans ta deuxième réponse kaiser, tu me donne la solution pour trouver un voisinage ouvert de tout point x, mais pas ouvert ET connexe.

Ou alors j'ai rien compris du tout ^^

Bonjour,

on prend la composante connexe de . On peut montrer que est un ouvert,
car pour tout point l'application donné par Kaiser permet de dire que est un voisinage connexe de , alors , et donc est voisinage de chacun de ces points.
Donc est un voisinage ouvert et connexe de .

Salut romu,

pourquoi a t-on l'inclusion xVC...?

effectivement, je n'avais pas fait attention et romu (que je salue) a bien rectifié le tir.

Kaiser

ça découle directement de la définition de composante connexe (enfin il faut tout de même savoir que l'union de connexes ayant un point en commun est connexe).

D'accord j'ai compris ! D'ailleurs, Nightmare m'avait déjà expliqué un truc du genre dans un précédent post.

Merci à vous trois !