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calcul ensembliste : différence symétrique.

Posté par
pppa 31-12-10 à 17:35

Bonsoir à tous

pr terminer l'année, pouvez-vs svp m'aider à terminer cet exercice.

Soient A, B et C 3 ensembles distincts (ds un référentiel E)

Montrer que \rm [A \Delta (B \cup C) = (A \Delta B) \cup (A \Delta C)]\Longleftrightarrow A \cap (B \cup C) = A \cap (B \cap C).

J'ai établi que \rm [A \Delta (B \cup C) \subset (A \Delta B) \cup (A \Delta C)].

Dc que \rm [(A\cap(\bar{B\cup C})\cup (\bar{A}\cap (B\cup C)] \subset [(A\cap(\bar{B\cap C})\cup (\bar{A}\cap (B\cup C)]

Et dc qu'il y aurait égalité lorsque \rm (A\cap(\bar{B\cup C}) = (A\cap(\bar{B\cap C}), soit lorsque \rm A\cap(\bar{B}\cap\bar{C}) = A\cap(\bar{B}\cup\bar{C})

et en développant je ne retrouve pas le résultat attendu

pouvez-vs me dire où je me trompe svp

merci d'avance

Posté par
pppare : calcul ensembliste : différence symétrique. 01-01-11 à 15:54

Posté par
pppare : calcul ensembliste : différence symétrique. 01-01-11 à 17:04

J'ai avancé :
Je repars de \rm A\cap(\bar{B\cup C}) = A\cap(\bar{B\cap C}) que j'ai validé

\rm A\cap(\bar{B\cup C}) = A\cap(\bar{B\cap C})

\rm A\cap(\bar{B}\cap \bar{C}) = A\cap(\bar{B}\cup \bar{C})

\rm A\cap(\bar{B}\cap \bar{C}) = (A\cap\bar{B})\cup (A \cap\bar{C})

\rm (A\cap\bar{B})\cap (A\cap\bar{C}) = (A\cap\bar{B})\cup (A \cap\bar{C})

conclusion provisoire : lorsque la réunion et l'intersection de deux ensembles sont égales, ces deux ensembles sont égaux, dc :

\rm A\cap\bar{B} = \rm A\cap\bar{C}
\rm A\cap B = \rm A\cap C (résultat déjà établi).

Si mon raisonnement est correct, il ne me resterait plus à établir que

\rm (A\cap B = \rm A\cap C) \rm (A\cap (B\cap C) = A\cap (B\cup C))

C'est sur ce dernier point que je bloque

merci de m'aider

Posté par
pppare : calcul ensembliste : différence symétrique. 02-01-11 à 16:15

Hello
Je pense avoir trouvé la démonstration attendue qui "se tient" de bout  en bout en reprenant les choses au début et sereinement.

On a établi que :

\rm [A \Delta (B \cup C)] \subset [(A \Delta B) \cup (A \Delta C)]

\rm \{[A \text{moins}(B \cup C)] \cup [(B\cup C)\text{moins} A]\} \subset [(A \text{moins} B) \cup (B \text{moins}A) \cup (A \text{moins} C) \cup (C \text{moins} A)]

\rm \{[A \cap(\bar{B \cup C})] \cup [(B\cup C)\cap \bar{A}]\} \subset [(A \cap \bar{B}) \cup (A \cap \bar{C}) \cup (\bar{A} \cap B) \cup (\bar{A} \cap C)]

\rm \{[A \cap(\bar{B \cup C})] \cup [(B\cup C)\cap \bar{A}]\} \subset [(A \cap (\bar{B} \cup \bar{C})] \cup [(\bar{A} \cap (B \cup C)]

Il y a dc l'égalité cherchée ssi \rm A \cap(\bar{B \cup C}) = A \cap(\bar{B \cap C}) puisque \rm A \cap (\bar{B} \cup \bar{C}) = A \cap(\bar{B \cap C}) et que l'intersection des ensembles est commutative.

sachant que j'avais déjà établi que \rm (A\cap \bar{B}) = (A\cap \bar{C}) \Longleftrightarrow (A\cap B) = (A\cap C)

On a bien \rm {A \cap(\bar{B \cup C}) = A \cap(\bar{B \cap C})} \Longleftrightarrow A \cap (B \cup C) = A \cap (B \cap C)

Une validation ou des commentaires/critiques seraient les bienvenus

Posté par
MatheuxMatoure : calcul ensembliste : différence symétrique. 02-01-11 à 18:13

bonsoir

déjà, la première ligne de 17:04 que tu as "validée" est fausse !

Posté par
MatheuxMatoure : calcul ensembliste : différence symétrique. 02-01-11 à 18:14

ah pardon, je croyais que tu "validais" cela dans le cas général

Posté par
pppare : calcul ensembliste : différence symétrique. 02-01-11 à 18:17

Bonjour MM et bonne année

merci d'y regarder*
*

je préfère que tu regardes à partir du message de ce jour 16 h 15

C'est un peu brouillon tt cet enchainement de messages mais bon j'ai pas encore trop l'habitude de manipuler ces notions.

Posté par
MatheuxMatoure : calcul ensembliste : différence symétrique. 02-01-11 à 18:24

disons que j'ai un peu de mal à suivre tes lignes de calcul...

déjà, A(BC)(AB)(AC) et A(BC)A(BC) dans tous les cas de figure

donc ce que tu dois démontrer est
A(BC)(AB)(AC)A(BC)A(BC)

Posté par
pppare : calcul ensembliste : différence symétrique. 02-01-11 à 18:31

je vais essayer de rendre tt cela un peu + clair

Sachant que (ça a été établi préalablement, je l'ai démontré sans trop d difficultés )

\rm [A \Delta (B \cup C)] \subset [(A \Delta B) \cup (A \Delta C)]

Démontrer que cette inclusion devient une égalité lorsque (ou ssi)

\rm A \cap (B \cup C) = A \cap (B \cap C)

Voilà, c'est ce cas particulier qu'il s'agit de démontrer ; tu me suis ? Merci de regarder et de me dire ce que tu en penses

Posté par
MatheuxMatoure : calcul ensembliste : différence symétrique. 02-01-11 à 18:32

pour
supposons qu'on ait l'inclusion de gauche
et soit xA(BC)
alors par définition de la différence symétrique xA(BC)
donc, par contraposée de l'inclusion de gauche (l'hypothèse)
x(AB)(AC)
donc
x(AB) ET x(AC)
tout en sachant par hypothèse que xA
on en déduit que xB ET xC
donc au final

xA(BC)

cqfd

Posté par
MatheuxMatoure : calcul ensembliste : différence symétrique. 02-01-11 à 18:33

(moi je travaille rarement directement avec les ensembles... sauf cas simples... je préfère travailler sur les éléments, je vois mieux)

Posté par
pppare : calcul ensembliste : différence symétrique. 02-01-11 à 18:42

Dc pr être sûr que j'ai compris ton raisonnement et ta manière de démontrer, il faut que j'établisse l'implication en sens inverse ?

Posté par
MatheuxMatoure : calcul ensembliste : différence symétrique. 02-01-11 à 18:49

ben oui, maintenant il faut montrer la réciproque

Posté par
pppare : calcul ensembliste : différence symétrique. 02-01-11 à 22:02

>>MM

excuse-moi mais à la réflexion je ne comprends pas ton message de 18 h 32 (je dis pas que c'est pas bon (je me permettrais pas), je dis que pr l'instant je ne comprends pas).

Ce qu'il faut démontrer se transcrit ainsi en langage propositionnel  (on laisse l'inclusion de côté qui a été établie) :

\rm\fbox{[A \Delta (B \cup C)] = [(A \Delta B) \cup (A \Delta C)]\\ \\ \Longleftrightarrow \\ \\ \rm A \cap (B \cup C) = A \cap (B \cap C)}.

Voilà c'est l'équivalence encadrée qu'il faut démontrer, dc là vraisemblablement par une double implication et prquoi pas en utilisant les propriétés d'appartenance ou de non-appartenance d'un élément x aux ensembles considérés.

Est-ce qu'on est d'accord ?

Posté par
pppare : calcul ensembliste : différence symétrique. 02-01-11 à 22:36

MM; je suis désolé, je n'y arrive pas en travaillant avec les éléments. Manque d'habitude je pense.

Par contre, par 6 équivalences successives, j'arrive à démontrer "les yeux fermés" l'équivalence demandée ; c'est de la même teneur que celle de mon message de 16 h 15 mais là je l'ai fait d'un seul jet, alors que ds mon message de 16 h 15 c'était + par tâtonnements...

Si tu veux je te la réécris en LateX ; en tte modestie, surtt qu'apparemment je m'adresse à un agrégé, dc c'est vraiement en tte modestie, je ne vois plus de faille ds mon raisonnement en 6 étapes...

Posté par
MatheuxMatoure : calcul ensembliste : différence symétrique. 03-01-11 à 15:42

si tu veux, propose ton raisonnement en numérotant les étapes pour qu'on puisse y faire référence

Posté par
kybjmre : calcul ensembliste : différence symétrique. 03-01-11 à 16:21

Les égalités entre entiers  qui suivent remplacent " congru modulo 2 "
Si A , B sont 2 parties d'un ensemble X on a :
.A = B SSI 1A = 1B
.1AB = 1A.1B
.1AB = 1A + 1B + 1A.1B
.1AB = 1A + 1B .

Soient alors P et Q les proprétés suivantes portant sur A,B,C,des parties d'un ensemble X .

P : A(BC) = (AB)(AC)

Q: A(BC) = ABC

On a :
...1A(BC) = 1A + 1 BC = 1A + 1B + 1C + 1BC et    
1(AB)(AC) = 1AB + 1AC + 1AB.1AC = 1A + 1B + 1A + 1C  + (1A + 1B)(1A + 1C) = 1A + 1B +  1C + 1AB + 1 BC+ 1 AC  
donc P est " 1AB + 1 AC = 0 " soit ABAC =   

... 1A(BC) = 1A1BC) = 1A (1B +1C + 1BC) = 1AB + 1AC + 1ABC.

Q est donc : 1AB + 1AC ou encore AB AC =


Cela prouve qu'on a : P Q  

Posté par
pppare : calcul ensembliste : différence symétrique. 03-01-11 à 18:21

>>Kybjm : merci d'intervenir, mais je ne suis pas du tt familier ce type d'écriture, même si j'ai vu sur INTERNET qu'elle peut parfois s'avérer pratique qd on la maîtrise.

>> MM : Bonjour, et merci de t'intéreser à mon sujet.

Voici comment j'ai raisonné

Ja pars de :

1 : \rm [A \Delta (B \cup C)] = [(A \Delta B) \cup (A \Delta C)]

2 : [(A \text{moins} (B\cup C)) \cup ((B\cup C) \text{moins} A)] = (A \text{moins} B)\cup (B \text{moins} A)\cup (A \text{moins} C)\cup (C \text{moins} A)

3: (A\cap (\bar{B\cup C})) \cup ((B\cup C)\cap\bar{A}) = ((A\cap\bar{B}) \cup (A\cap\bar{C})) \cup ((\bar{A}\cap B) \cup (\bar{A}\cap C))

4 : (A\cap (\bar{B\cup C})) \cup (\bar{A}\cap (B\cup C)) = (A\cap (\bar{B}\cup\bar{C})) \cup (\bar{A}\cap (B\cup C))

5 : A\cap (\bar{B\cup C}) = A\cap (\bar{B}\cup\bar{C})

6 : A\cap (\bar{B\cup C}) = A\cap (\bar{B\cap C})

7 : A\cap (B\cup C) = A\cap (B\cap C) = A\cap B\cap C.


sachant que j'ai déjà établi (passage de l'étape 6 à l'étape 7)  que

\rm(A\cap\bar{B} = A\cap\bar{C}) \Longleftrightarrow (A\cap B = A\cap C).

Peux-tu me dire stp si'il y a une faille ds mon raisonnement ? Merci

Posté par
MatheuxMatoure : calcul ensembliste : différence symétrique. 03-01-11 à 18:46

le passage 45 ne me parait pas très clair !
cela ressemble à une "simplification" un peu douteuse...
QP=RP n'est pas équivalent dans le cas général à Q=R
contrexemple : P={1,2} Q={1,3} R={3}

Posté par
pppare : calcul ensembliste : différence symétrique. 03-01-11 à 22:04

>>MM

Je suis d'accord, ton argument est imparable.

Bon, il va falloir que je raisonne avec l'appartenance ou la non appartenance  d'un élément x à un ou des ensembles.

J'y réfléchis.

A suivre

Posté par
pppare : calcul ensembliste : différence symétrique. 04-01-11 à 18:46

Bonjour MM

je n'y arrive pas avec l'appartenance ou la non appartenance  d'un élément x à un ou des ensembles.

Je comprends que le passage de (4) à (5) ne soit pas admissible mathématiquement.

A partir du moment où j'ai établi l'équivalence suivante : \rm(A\cap\bar{B} = A\cap\bar{C}) \Longleftrightarrow (A\cap B = A\cap C), je peux poser l'équivalence qui résulte du passage de (7) à (6) (Cf mon message d'hier)

En suite en développant séparément les 2 termes de l'égalité à établir : \rm [A \Delta (B \cup C)] = [(A \Delta B) \cup (A \Delta C)] j'aboutis à (4), soit :

\rm(A\cap (\bar{B\cup C})) \cup (\bar{A}\cap (B\cup C)) = (A\cap (\bar{B}\cup\bar{C})) \cup (\bar{A}\cap (B\cup C))

que je transforme en :

\rm (A\cap (\bar{B\cup C})) \cup (\bar{A}\cap (B\cup C)) = (A\cap (\bar{B\cap C})) \cup (\bar{A}\cap (B\cup C))

est-ce que là je ne peux pas affirmer que les 2 ensembles \rm(A\cap (\bar{B\cup C})) et \rm (A\cap (\bar{B\cap C}) sont égaux ssi \rm A \cap (B \cup C) = A \cap (B \cap C)} ?

Auquel cas l'équivalence à établir serait alors vérifiée ?

Qu'en dis-tu ?

Sois conscient que je ne cherche pas à avoir raison à tout prix, mais je veux comprendre avec une méthode que je maitrise de bout en bout.

Si ça ne colle tjs pas et que tu as un peu de tps, peux-tu me faire la démonstration de l'une des deux implications avec un élement x, mais de façon un peu plus détaillée que celle de ton message d'avant hier 18 h 32, et j'essaierai d'établir l'implication réciproque.

merci bcp pr ton aide et ta patience.

Posté par
MatheuxMatoure : calcul ensembliste : différence symétrique. 04-01-11 à 19:05

je ne peux pas détailler plus que mon message de 18:32 pour la première implication... tout est dit !

quant à ton raisonnement, le point crucial est effectivement de prouver sérieusement l'équivalence entre 4 et 5... mais sans se servir du résultat que tu veux démontrer comme tu le proposes !!!!

Posté par
pppare : calcul ensembliste : différence symétrique. 04-01-11 à 23:10

Une autre approche ; merci de me dire ce que tu en penses.

Considérons le référentiel \rm A\cup B\cup C.

Au sein d'un même référentiel, deux ensembles sont égaux ssi leurs complémentaires respectifs ds ce référentiel sont égaux.

Le complémentaire de \rm [A \Delta (B \cup C)]  dans \rm A\cup B\cup C  est  \rm A \cap (B \cup C)

Le complémentaire de \rm [(A \Delta B) \cup (A \Delta C)]  dans \rm A\cup B\cup C  est  \rm A \cap B \cap C

dc :\rm\fbox{[A \Delta (B \cup C)] = [(A \Delta B) \cup (A \Delta C)]\\ \\ \Longleftrightarrow \\ \\ \rm A \cap (B \cup C) = A \cap B \cap C}

est-ce que ça tient la route ?

Posté par
MatheuxMatoure : calcul ensembliste : différence symétrique. 05-01-11 à 14:19

là oui, ça tient la route... tu peux prendre ce référentiel puisque tous les ensembles en jeu sont contenus dedans.

c'est même une excellente idée

Posté par
pppare : calcul ensembliste : différence symétrique. 05-01-11 à 17:50

Merci pr ton aide MM ; et c'est en étudiant en détail ta démonstration du 02/01 18 h 32 que j'ai fini par comprendre jusqu'au bout que cette idée m'est venue.

Posté par
MatheuxMatoure : calcul ensembliste : différence symétrique. 05-01-11 à 18:12

avec plaisir

MM


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