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Choisir une définition de l'union/intersection de familles ZFC

Posté par
SkyMtn 12-03-17 à 22:37

Bonsoir, j'hésite à choisir une définition de l'union/intersection de familles dans ZFC.
C'est-à-dire entre :
Choisir une définition de l\'union/intersection de familles ZFC
et
Choisir une définition de l\'union/intersection de familles ZFC
où X désigne l'union de X par l'axiome de la réunion (i.e. ensemble dont les éléments sont les éléments des éléments de X). Merci par avance pour votre aide, car ça m'embrouille le cerveau tout cela :/

Posté par
jokassre : Choisir une définition de l'union/intersection de familles 12-03-17 à 23:05

Le deuxième choix est plus compréhensible que le premier non ?
Ton union des X est mal définit, les Xi sont des sous-ensembles de X et non des éléments.

Posté par
SkyMtnre : Choisir une définition de l'union/intersection de familles 12-03-17 à 23:18

Dans ZFC les éléments d'un ensemble sont des ensembles !
L'union est défini par l'axiome de la réunion : Choisir une définition de l\'union/intersection de familles .
L'axiome d'extensionnalité en assure l'unicité, et on décide de le noter X.

Posté par
SkyMtnre : Choisir une définition de l'union/intersection de familles 12-03-17 à 23:25

Je veux choisir une définition pour ne pas me planter lorsque je vais aborder la topologie et la théorie de la mesure. Est-ce que les familles de parties suffisent pour les opérations d'union et d'intersection ?

Posté par
jokassre : Choisir une définition de l'union/intersection de familles 12-03-17 à 23:34

Si tu considère les éléments d'un ensemble comme des ensembles tu vas, je pense, avoir des problèmes.
x n'est pas le même objet que {x}, l'un est un élément de l'ensemble X et il appartient aussi au second qui est un sous-ensemble de X. Un élément ne peut pas être ensemble, enfin au départ on pensait que si mais après...

Il me semble que cette façon de voir les éléments d'un ensemble a posé des problèmes notamment dans le paradoxe de "l'ensemble de tout les ensemble" avec la fameuse question "s'appartient t'il à lui-même?".

Posté par
jsvdbre : Choisir une définition de l'union/intersection de familles 12-03-17 à 23:51

Question brillamment résolue par Bourbaki.
Du coup, on peut considérer tout objet comme un ensemble.

Pour en revenir aux deux définitions posées par SkyMtn, il peut choisir celle qu'il veut.
La seconde est standard car on ne considère en général que des familles de parties d'un ensemble (donc des familles homogènes...classique en théorie de la mesure et en topologie ) et très (pour ne pas dire jamais) rarement des familles d'ensembles hétérogènes (genre X1=, X2=,X3= etc

Posté par
SkyMtnre : Choisir une définition de l'union/intersection de familles 13-03-17 à 00:36

Je pense que la première définition a l'avantage d'être assez générale...
jsvdb j'ai un doute quant à la définition du produit d'ensemble où l'union de familles apparait, c'est ce qui m'a poussé également à douter de la définition d'un telle union.
A voir... je continue mes recherches...

Posté par
jsvdbre : Choisir une définition de l'union/intersection de familles 13-03-17 à 10:49

SkyMtn @ 13-03-2017 à 00:36

Je pense que la première définition a l'avantage d'être assez générale...

Certes ! mais inutilisée en pratique.
On se moque pas mal, par exemple de réunir une famille de complexes avec une famille d'opérateurs de L²([a,b]) avec une famille de borélien de .
En revanche, la seconde définition (qui n'est qu'un cas particulier de la première) sert constamment.
Évidemment, tu me rétorqueras que de la première on peut toujours se ramener à la seconde en considérant que X est un élément de P(P(X)) alias X P(X)

En dehors de ça, je n'ai me pas trop la notation(X_i)_{i \in I} \in X^I, c'est ambiguë. Premièrement, on se demande si X_i est un élément de X ou un élément de X^I et deuxièmement, la même lettre X sert à désigner un ensemble et un un fonction.

Je lui préfère l'intitulé : soit (X_i)_{i \in I} une famille d'éléments de Y. Ici, pas de doutes. X est une application de I dans Y.

Enfin, détail, il ne faut pas oublier de voir ce qui se passe pour I = . Ce simple détail permet de ramener les axiomes d'une topologie au nombre de deux et non plus au nombre de 4, les deux axiomes "vidés" étant alors des propriété immédiates des deux autres. (également pour la définition d'un clan de partie et d'une tribu de partie d'un ensemble).

Posté par
SkyMtnre : Choisir une définition de l'union/intersection de familles 13-03-17 à 16:46

@jsvdb Tu as raison  par rapport à la notation, ce serait plutôt une famille (X_i)_{i\in I} \in E^I  (X: I\to E)

Si effectivement, on travail uniquement avec les parties d'un ensemble, la deuxième définition est "la meilleure" car plus compréhensible (je pense mettre en remarque la première définition).
Puis pour définir l'ensemble produit "\prod_{i\in\N_n} E_i = E_0 \times E_1 \times \cdots\times E_n", je peux toujours considérer les parties de \{E_1,\ldots, E_n} (pour un ensemble défini en extension, a-t-on le droit aux "..." ?) au niveau de l'union...

Posté par
SkyMtnre : Choisir une définition de l'union/intersection de familles 13-03-17 à 16:47

* parties de \{E_0, E_1,\ldots, E_n\}

Posté par
ThierryPomare : Choisir une définition de l'union/intersection de familles 13-03-17 à 17:06

Bonsoir,

Soit (X_i)_{i\in{I}}\subset{X}. Alors

\bigcup\limits_{i\in{I}}X_i=\{x:(\exists\,i)(i\in{I}\text{ et }x\in{X_i})\}\text{ et }\bigcap\limits_{i\in{I}}X_i=\{x:x\in{X}\text{ et }(\forall\,i)(i\in{I}\Rightarrow{x}\in{X_i})\}

Qu'obtient-on pour I=\emptyset ?

Posté par
jsvdbre : Choisir une définition de l'union/intersection de familles 13-03-17 à 17:10

SkyMtn @ 13-03-2017 à 16:46

par rapport à la notation, ce serait plutôt une famille (X_i)_{i\in I} \in E^I  (X: I\to E)

Non plus. Mais plutôt soit (X_i)_{i \in I} une famille d'éléments de E. De façon équivalente, tu as bien écrit X : I \rightarrow E.
Ecrire (X_i)_{i \in I} \in X^I, tu ne sais pas trop si X_i est une famille d'éléments de X ou une famille d'éléments de X^I

SkyMtn @ 13-03-2017 à 16:46

Puis pour définir l'ensemble produit "\prod_{i\in\N_n} E_i = E_0 \times E_1 \times \cdots\times E_n", je peux toujours considérer les parties de \{E_1,\ldots, E_n} (pour un ensemble défini en extension, a-t-on le droit aux "..." ?) au niveau de l'union...


Attention : \prod_{i\in\N_n} E_i \neq E_0 \times E_1 \times \cdots\times E_n pour deux raisons :

1- Les trois petits points ne veulent rien dire à droite
2- Si l'ordre est important à droite (en supposant que les \cdots aient un sens, en revanche, il n'y en n'a pas à gauche.

En effet \prod_{i\in\N_n} E_i est l'ensemble des applications t: \N_n \rightarrow \bigcup_{i\in \N_n}X_i et telles que \forall i \in \N_n~t_i \in X_i

On ne peut, au mieux, qu'écrire ceci, par exemple : \prod_{i\in\N_2} E_i \underset{\text {bij}}{\leftrightarrow} E_0 \times E_1 \times E_2. Il n'y a qu'une bijection entre ces deux ensembles, pas d'égalité.

Posté par
SkyMtnre : Choisir une définition de l'union/intersection de familles 13-03-17 à 17:32

Ok pour le produit...
En revanche, je définis la famille X = (X_i)_{i\in I} par l'application X : I\to E, donc, on dit qu'il s'agit d'une famille d'éléments de E (indexés par I) mais la famille en elle même est un élément de E^I... ou alors j'ai choisis une mauvaise définition de famille indexée


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