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Niveau terminale
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Complexes.

Posté par
matheux14 08-03-21 à 22:42

Bonsoir ,

Merci d'avance.

1) Résoudre dans \C l'équation : \large{u^{3}=e^{i\dfrac{2\pi}{3}}}.

2) Justifier que pour tout nombre réel \alpha , on a {\large{1+e^{i\alpha}}}=2\cos \dfrac{\alpha}{2}e^{i\dfrac{\pi}{2}}.

3) On considère dans \C l'équation (E)~:~(z-1)^{6}+(z-1)^{3}+1=0.

a) Justifier que si le nombre complexe z est solution de (E) alors \bar{z} est aussi solution de (E).

b) Résoudre (E).

(on pourra poser v=(z-1)³).

c) Écrire les solutions de (E) sous forme exponentielle.

Je bloque sur la première question..

Posté par
gerrebare : Complexes. 08-03-21 à 22:56

Bonsoir, Question 1) difficile ?

Posté par
gerrebare : Complexes. 08-03-21 à 23:00

u est de module 1 ,il suffit de passer aux modules pour le voir.Pour les arguments:3x=2pi/3+2kpi d'où....

Posté par
matheux14re : Complexes. 09-03-21 à 06:16

Je ne comprends pas vraiment..

Posté par
matheux14re : Complexes. 09-03-21 à 07:21

u³=e^{i\dfrac{2\pi}{3}}

Posons r=|e^{i\dfrac{2\pi}{3}}|=1

3\alpha=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi (k de Z).

\begin{cases} r³=1\\ 3\alpha=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi ~(k\in \Z) \end{cases}

\begin{cases} r=1 \\ \alpha=\dfrac{2\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3}\end{cases}

Les solutions de (E) sont : z_{0}=e^{i\dfrac{2\pi}{9}}  

;

z_{1}=e^{i\dfrac{8\pi}{9}} ;


z_{2}=e^{i(-\dfrac{4\pi}{9})}

Posté par
Pirhore : Complexes. 09-03-21 à 07:31

Bonjour,

en attendant le retour de gerreba  que je salue, oui c'est juste

Posté par
matheux14re : Complexes. 09-03-21 à 07:34

Pour la question 2) c'est

{\large{1+e^{i\alpha}}}=2\cos \dfrac{\alpha}{2}e^{i\dfrac{{\red{\alpha}}}{2}}

Posté par
Pirhore : Complexes. 09-03-21 à 07:38

j'allais te le dire!

Posté par
matheux14re : Complexes. 09-03-21 à 07:43

{\large{1+e^{i\alpha}}}=2\cos \dfrac{\alpha}{2}e^{i\dfrac{\alpha}{2}}=2\cos\dfrac{\alpha}{2}(\cos\dfrac{\alpha}{2}+i\sin\dfrac{\alpha}{2})=2\cos²\dfrac{\alpha}{2}+2i\cos\dfrac{\alpha}{2}×\sin\dfrac{\alpha}{2}

Posté par
matheux14re : Complexes. 09-03-21 à 07:43

Je bloque là

Posté par
Pirhore : Complexes. 09-03-21 à 07:57

transforme pour obtenir des angles \alpha au lieu d' \dfrac{\alpha}{2}

Posté par
matheux14re : Complexes. 09-03-21 à 08:32

Je n'y arrive pas..

Posté par
Pirhore : Complexes. 09-03-21 à 08:41

cos(a)en fonction de a/2=?

sin(a) en fonction de a/2=?

Posté par
malou Webmasterre : Complexes. 09-03-21 à 08:45

Bonjour à tous les deux
en passant, une fiche qui peut être utile Savoir utiliser le cercle trigonométrique et formules de trigonométrie

Posté par
matheux14re : Complexes. 14-03-21 à 10:43

Bonjour ,

{\large{1+e^{i\alpha}}}=2\sin²\alpha+2i\sin\alpha×\cos\alpha \\

Posté par
matheuxmatoure : Complexes. 14-03-21 à 10:51

bonjour

non !

Posté par
Pirhore : Complexes. 14-03-21 à 10:56

matheux14 @ 09-03-2021 à 07:43

{\large{1+e^{i\alpha}}}=2\cos \dfrac{\alpha}{2}e^{i\dfrac{\alpha}{2}}=2\cos\dfrac{\alpha}{2}(\cos\dfrac{\alpha}{2}+i\sin\dfrac{\alpha}{2})=2\cos²\dfrac{\alpha}{2}+2i\cos\dfrac{\alpha}{2}×\sin\dfrac{\alpha}{2}

factorise!

Posté par
matheux14re : Complexes. 15-03-21 à 17:10

{\large{1+e^{i\alpha}}}=2\cos \dfrac{\alpha}{2}e^{i\dfrac{\alpha}{2}}

\large{=\cos\dfrac{\alpha}{2}\left(2\cos\dfrac{\alpha}{2}+2i\sin\dfrac{\alpha}{2}\right)}

Comme çà ?

Posté par
Pirhore : Complexes. 15-03-21 à 17:27

en prenant la dernière parenthèse de l'expression de ton post du 09-03-2021 à 7H43, factorise aussi le 2 et tu devrais voir apparaître ...

Posté par
matheux14re : Complexes. 15-03-21 à 18:03

Je ne vois pas vraiment ..

\large{1+e^{i\alpha}}=1+\left(e^{i\dfrac{\alpha}{2}}\right)^{2}}

(D'après la formule de Moivre.)

=\large{1+\left(\cos\dfrac{\alpha}{2}+i\sin\dfrac{\alpha}{2}\right)^{2}}

=\large{1+\cos²\dfrac{\alpha}{2}+2i\cos\dfrac{\alpha}{2}\sin\dfrac{\alpha}{2}-\sin²\dfrac{\alpha}{2}}

=\large{1+cos²\dfrac{\alpha}{2}+2i\cos\dfrac{\alpha}{2}\sin\dfrac{\alpha}{2}-\sin²\dfrac{\alpha}{2}}

_{\large{\cos²\dfrac{\alpha}{2}+\sin²\dfrac{\alpha}{2}=1 \iff \sin²\dfrac{\alpha}{2}=1-\cos²\dfrac{\alpha}{2}}}

D'où \large{1+e^{i\alpha}}=1+2i\cos\dfrac{\alpha}{2}\sin\dfrac{\alpha}{2}+\cos²\dfrac{\alpha}{2}-\left(1-\cos²\dfrac{\alpha}{2}\right)

=\large{2\cos²\dfrac{\alpha}{2}+2i\cos\dfrac{\alpha}{2}\sin\dfrac{\alpha}{2}}

=\large{2\cos\dfrac{\alpha}{2}\left(\cos\dfrac{\alpha}{2}+i\sin\dfrac{\alpha}{2}\right)}

=\large{2\cos\dfrac{\alpha}{2}\left(\cos\dfrac{\alpha}{2}+i\sin\dfrac{\alpha}{2}\right)}

\Rightarrow \large{1+e^{i\alpha}=2\cos\dfrac{\alpha}{2}\left(\cos\dfrac{\alpha}{2}+i\sin\dfrac{\alpha}{2}\right)}  

\large{1+e^{i\alpha}=2\cos\dfrac{\alpha}{2}\left(e^{i\dfrac{\alpha}{2}}\right)}

Posté par
Pirhore : Complexes. 15-03-21 à 18:55

c'est lourd!!

il suffisait d'ajouter ce qui est en rouge
1+e^{i\alpha}=1+cos(\alpha)+i\,sin(\alpha)=2\,cos^2\,(\dfrac{\alpha}{2})+ 2\, i\,sin(\dfrac{\alpha}{2})\,cos(\dfrac{\alpha}{2})=2\,cos(\dfrac{\alpha}{2})[cos(\dfrac{\alpha}{2})+i\,sin(\dfrac{\alpha}{2})]=\textcolor{red}{2\,cos(\dfrac{\alpha}{2})\,e^{\dfrac{i\alpha}{2}}}

Posté par
Pirhore : Complexes. 15-03-21 à 19:04

remarque: il existe une autre technique qui consiste à factoriser e^{i\dfrac{\alpha}{2}} , d'où

1+e^{i\alpha}=e^{i\dfrac{\alpha}{2}}(...........)

Posté par
matheux14re : Complexes. 15-03-21 à 19:09

\large{1+e^{i\alpha}={\blue{1+cos(\alpha)+i\,sin(\alpha)}}={\green{2\,cos^2\,(\dfrac{\alpha}{2})+ 2\, i\,sin(\dfrac{\alpha}{2})\,cos(\dfrac{\alpha}{2})}}=2\,cos(\dfrac{\alpha}{2})[cos(\dfrac{\alpha}{2})+i\,sin(\dfrac{\alpha}{2})]=\textcolor{red}{2\,cos(\dfrac{\alpha}{2})\,e^{\dfrac{i\alpha}{2}}}}

Vous êtes passé de la bleue à la verte comme moi ?

Sinon comment aviez vous fait ?

Posté par
Pirhore : Complexes. 15-03-21 à 19:13

elle viennent des formules des angles doubles

cos(2x)=2 cos^2(x)-1, sin(2x)=2\, sin(x)cos(x)

Posté par
matheux14re : Complexes. 16-03-21 à 20:50

D'accord ,

3-a) Je fais comment ?

Posté par
Pirhore : Complexes. 16-03-21 à 21:27

"prends" le conjugué des 2 membres

Posté par
matheux14re : Complexes. 18-03-21 à 21:49

Bonsoir ,

Et ensuite je montre que :

\large{(z-1)^{6}+(z-1)^{3}+1={\green({\bar{z}-1)^{6}+(\bar{z}-1)^{3}+1} \\

?

Posté par
malou Webmasterre : Complexes. 18-03-21 à 21:58

Bonsoir
en l'absence de Pirho, qu'est-ce qu'il t'a dit ?

non....
\large{(z-1)^{6}+(z-1)^{3}+1=0 ssi \overline{(z-1)^{6}+(z-1)^{3}+1}=\overline 0

etc...(travaille le membre de gauche avec les propriétés des conjugués pour arriver à ce qui est demandé)

Posté par
matheux14re : Complexes. 19-03-21 à 07:44

Alors je montre que \overline{(z-1)^{6}+(z-1)^{3}+1}=(z-1)^{6}+(z-1)^{3}+1 ?

Posté par
Pirhore : Complexes. 19-03-21 à 07:51

oui

Posté par
matheux14re : Complexes. 19-03-21 à 18:50

\overline{(z-1)^{6}+(z-1)^{3}+1}=\overline{(z-1)^{6}}+\overline{(z-1)^{3}}+\overline{1}

Posté par
Pirhore : Complexes. 19-03-21 à 18:57

ce n'est pas fini!

Posté par
matheux14re : Complexes. 19-03-21 à 19:18

\large{\overline{(z-1)^{6}+(z-1)^{3}+1}=\overline{(z-1)^{6}}+\overline{(z-1)^{3}}+\overline{1}=\overline{(z-1})^{6}+\overline{(z-1)}^{3}+\overline{1}=(z-1)^{6}+(z-1)^{3}+1

Posté par
carpediemre : Complexes. 19-03-21 à 20:13

salut

le conjugué de z - 1 n'est pas z - 1 ...

juste en passant :

matheux14 @ 09-03-2021 à 07:43

\cancel {{\large{1+e^{i\alpha}}}=} 2\cos \dfrac{\alpha}{2}e^{i\dfrac{\alpha}{2}}= 2\cos\dfrac{\alpha}{2}(\cos\dfrac{\alpha}{2}+i\sin\dfrac{\alpha}{2})=2\cos²\dfrac{\alpha}{2}+2i\cos\dfrac{\alpha}{2}×\sin\dfrac{\alpha}{2} \red = 2 \cos^2 \dfrac a 2 - 1 + 1 + 2i \sin \dfrac a 2 \cos \dfrac a 2 = \cos a + 1 + i \sin a = 1 + e^{ia}

ce qui est biffé est le résultat que tu veux !!!

Posté par
Pirhore : Complexes. 19-03-21 à 20:14

je crois qu'il manque une égalité avant la dernière afin  de conclure

Posté par
matheux14re : Complexes. 19-03-21 à 20:17

\bar{z-1}=1-z ?

Posté par
Pirhore : Complexes. 19-03-21 à 20:23

matheux14 @ 19-03-2021 à 20:17

\bar{z-1}=1-z ?
??

Posté par
matheux14re : Complexes. 19-03-21 à 20:39

D'après la remarque de carpediem à 20h 13 , le conjugué de z-1 n'est pas z-1.

Ce n'est pas non plus 1-z car l'énoncé ne précise pas l'ensemble de validité de z..

Posté par
malou Webmasterre : Complexes. 19-03-21 à 20:42

peut-être revoir le cours sur les conjugués....
Les nombres complexes

Posté par
matheux14re : Complexes. 19-03-21 à 21:17

Le conjugué de z = z si z ∈ IR

Le conjugué de z=-z si z est un imaginaire pur.

Posté par
Pirhore : Complexes. 19-03-21 à 21:49

oui mais le conjugué de z est égal a \bar{z}

Posté par
matheux14re : Complexes. 19-03-21 à 22:21

Et celui de z-1 ?

Posté par
Pirhore : Complexes. 19-03-21 à 22:35

si \large z=a + i\, b, \bar{z}=a-i\,b

si   \large z   est réel   \large b=? , d'où \large \bar{z}=?

Posté par
matheux14re : Complexes. 19-03-21 à 22:52

b=0 et z bar = a

Posté par
Pirhore : Complexes. 20-03-21 à 06:56

d'où  \bar{z-1}=~?

Posté par
matheux14re : Complexes. 20-03-21 à 07:44

\bar{z-1}=a-1

Posté par
Pirhore : Complexes. 20-03-21 à 08:22

\bar{z-1}=\bar{z}-\bar{1}=\bar{z}-1

Posté par
matheux14re : Complexes. 20-03-21 à 08:37

\large{\overline{(z-1)^{6}+(z-1)^{3}+1}

\large{=\overline{(z-1)^{6}}+\overline{(z-1)^{3}}+\overline{1}}

\large{=\overline{(z-1})^{6}+\overline{(z-1)}^{3}+\overline{1}}

\large{=(\bar{z}-1)^{6}+(\bar{z}-1)^{3}+1}

\large{=(z-1)^{6}+(z-1)^{3}+1}

Posté par
malou Webmasterre : Complexes. 20-03-21 à 08:52

d'où sort cette dernière égalité ?
je ne comprends pas la rédaction pour la question posée

Posté par
matheux14re : Complexes. 20-03-21 à 09:01

Citation :
\large{\overline{(z-1)^{6}+(z-1)^{3}+1}

\large{=\overline{(z-1)^{6}}+\overline{(z-1)^{3}}+\overline{1}}

\large{=\overline{(z-1})^{6}+\overline{(z-1)}^{3}+\overline{1}}

\large{=(\bar{z}-1)^{6}+(\bar{z}-1)^{3}+1}


Du coup je m'arrête là

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