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Niveau école ingénieur
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Démonstration bijective

Posté par
IamMe
19-09-20 à 19:22

Bonjour, je suis bloqué sur un exercice...

Soient deux applications f : A→ B et g : B→C.

Montrer que si f et g sont bijectives alors g◦f est bijective.

f et g bijectives g◦f est bijective

J'ai voulu tenter un raisonnement direct mais je bloque

Posté par
IamMe
re : Démonstration bijective 19-09-20 à 19:26

Attendez j'ai un truc...

Soit y appartenant à C, il existe un unique y' dans B tel que y = g(y') car g est bijective.
Soit y' appartenant à B, il existe un unique x' dans A tel que y'= f('x)

Du coup y = g(y') or y'=f(x') donc g(f(x')) = y

Posté par
carpediem
re : Démonstration bijective 19-09-20 à 22:48

salut

c'est bon ...

sinon il est aussi aisé de montrer l'injectivité et la surjectivité ...

Posté par
GBZM
re : Démonstration bijective 20-09-20 à 09:59

IamMe @ 19-09-2020 à 19:26


Du coup y = g(y') or y'=f(x') donc g(f(x')) = y


Bonjour,

Cet argument est pour le moins incomplet : il n'y a absolument aucune quantification sur les variables. Pour rappel, ce qu'il faut démontrer :

Pour tout z dans C, il existe un unique x dans A tel que z=g(f(x)).

Posté par
IamMe
re : Démonstration bijective 20-09-20 à 10:25

carpediem @ 19-09-2020 à 22:48



sinon il est aussi aisé de montrer l'injectivité et la surjectivité ...


J'avais essayé de partir de ça mais j'ai pas réussi à continuer...

Posté par
IamMe
re : Démonstration bijective 20-09-20 à 10:25

GBZM @ 20-09-2020 à 09:59

IamMe @ 19-09-2020 à 19:26


Du coup y = g(y') or y'=f(x') donc g(f(x')) = y


Bonjour,

Cet argument est pour le moins incomplet : il n'y a absolument aucune quantification sur les variables. Pour rappel, ce qu'il faut démontrer :

Pour tout z dans C, il existe un unique x dans A tel que z=g(f(x)).


Oui, il Faut que je les rajoute.

Posté par
mousse42
re : Démonstration bijective 21-09-20 à 00:52

Bonsoir,
Voici une proposition de rédaction un peu plus "propre" que celle que tu proposes.
Tu veux montrer que g\circ f : A\to C est bijective avec  f:A\to B et g:B\to C deux bijections.

Soit c \in C, puisque g est bijective, il existe un unique b\in B tel que g(b)=c, or f est bijective, donc surjective par conséquent on a b\in B=f(A), dès lors il existe un unique a\in A tel que b=f(a), ainsi on a montré

(\forall c\in C)( \exists ! a\in A)( c=(g\circ f)(a))

Maintenant, il ne reste plus qu'à l'utiliser dans ton autre exercice. Bijections et réciproques

Quelques corrections apportées à ta preuve ci-dessous :

IamMe @ 19-09-2020 à 19:26

Attendez j'ai un truc...

Il faut commencer par écrire ce que tu veux montrer c'est à dire :

(\forall y\in C)(\exists !x\in A)(y=(g\circ f)(x))

Soit y appartenant à C, il existe un unique y' dans B tel que y = g(y') car g est bijective.

Dans cette partie tu pars d'un élément y\in C et tu montres l'existence d'un élément y' dans B, jusque là c'est bon.


Soit y' appartenant à B, il existe un unique x' dans A tel que y'= f('x)

à ce niveau ça cloche, tu ne peux pas dire "soit y' [...] ", tu viens de trouver un  y' dans B, garde le bien , il va servir pour la suite.

il faudrait plutôt dire : on sait que pour tout z appartenant à B, il existe un unique x dans A tel que z= f(x), donc c'est vrai en particulier pour z=y', ainsi on a l'existence d'un unique x dans A tel que y'=f(x), ainsi on conclut que  y=(g\circ f)(x) avec x unique dans A


Du coup y = g(y') or y'=f(x') donc g(f(x')) = y cette ligne devient inutile

Posté par
GBZM
re : Démonstration bijective 21-09-20 à 09:32

À mon avis, il vaut mieux séparer dans la démonstration l'existence et l'unicité.

1°) Existence : soit z\in C. Puisque g est surjective il existe y \in B tel que g(y)=z.  Pour ce y, puisque f est surjective il existe x\in A tel que f(x)=y. Cet élément x vérifie donc g(f(x))=z.
2°) Unicité : soient x,x' dans A tels que g(f(x))=g(f(x')). Puisque g est injective, f(x)=f(x') et puisque f est injective, x=x'.



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