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Démonstration bijective
Posté par IamMe
Bonjour, je suis bloqué sur un exercice...
Soient deux applications f : A→ B et g : B→C.
Montrer que si f et g sont bijectives alors g◦f est bijective.
f et g bijectives 
g◦f est bijective
J'ai voulu tenter un raisonnement direct mais je bloque
Attendez j'ai un truc...
Soit y appartenant à C, il existe un unique y' dans B tel que y = g(y') car g est bijective.
Soit y' appartenant à B, il existe un unique x' dans A tel que y'= f('x)
Du coup y = g(y') or y'=f(x') donc g(f(x')) = y
IamMe @ 19-09-2020 à 19:26
Du coup y = g(y') or y'=f(x') donc g(f(x')) = y
Du coup y = g(y') or y'=f(x') donc g(f(x')) = y
Bonjour,
Cet argument est pour le moins incomplet : il n'y a absolument aucune quantification sur les variables. Pour rappel, ce qu'il faut démontrer :
Pour tout z dans C, il existe un unique x dans A tel que z=g(f(x)).
carpediem @ 19-09-2020 à 22:48
sinon il est aussi aisé de montrer l'injectivité et la surjectivité ...
sinon il est aussi aisé de montrer l'injectivité et la surjectivité ...
J'avais essayé de partir de ça mais j'ai pas réussi à continuer...
GBZM @ 20-09-2020 à 09:59
Bonjour,
Cet argument est pour le moins incomplet : il n'y a absolument aucune quantification sur les variables. Pour rappel, ce qu'il faut démontrer :
Pour tout z dans C, il existe un unique x dans A tel que z=g(f(x)).
IamMe @ 19-09-2020 à 19:26
Du coup y = g(y') or y'=f(x') donc g(f(x')) = y
Du coup y = g(y') or y'=f(x') donc g(f(x')) = y
Bonjour,
Cet argument est pour le moins incomplet : il n'y a absolument aucune quantification sur les variables. Pour rappel, ce qu'il faut démontrer :
Pour tout z dans C, il existe un unique x dans A tel que z=g(f(x)).
Oui, il Faut que je les rajoute.
Bonsoir,
Voici une proposition de rédaction un peu plus "propre" que celle que tu proposes.
Tu veux montrer que est bijective avec
et
deux bijections.
Soit , puisque
est bijective, il existe un unique
tel que
, or
est bijective, donc surjective par conséquent on a
, dès lors il existe un unique
tel que
, ainsi on a montré
Maintenant, il ne reste plus qu'à l'utiliser dans ton autre exercice. 
Bijections et réciproques
Quelques corrections apportées à ta preuve ci-dessous :
IamMe @ 19-09-2020 à 19:26
Attendez j'ai un truc...
Il faut commencer par écrire ce que tu veux montrer c'est à dire :
(\exists !x\in A)(y=(g\circ f)(x)))
Soit y appartenant à C, il existe un unique y' dans B tel que y = g(y') car g est bijective.
Dans cette partie tu pars d'un élément
et tu montres l'existence d'un élément 
dans 
, jusque là c'est bon.
Soit y' appartenant à B, il existe un unique x' dans A tel que y'= f('x)
à ce niveau ça cloche, tu ne peux pas dire "soit y' [...] ", tu viens de trouver un
dans , garde le bien , il va servir pour la suite.
il faudrait plutôt dire : on sait que pour tout
appartenant à , il existe un unique 
dans 
tel que )
, donc c'est vrai en particulier pour 
, ainsi on a l'existence d'un unique dans tel que )
, ainsi on conclut que (x))
avec unique dans
Du coup y = g(y') or y'=f(x') donc g(f(x')) = y cette ligne devient inutile
Attendez j'ai un truc...
Il faut commencer par écrire ce que tu veux montrer c'est à dire :
Soit y appartenant à C, il existe un unique y' dans B tel que y = g(y') car g est bijective.
Dans cette partie tu pars d'un élément
Soit y' appartenant à B, il existe un unique x' dans A tel que y'= f('x)
à ce niveau ça cloche, tu ne peux pas dire "soit y' [...] ", tu viens de trouver un
il faudrait plutôt dire : on sait que pour tout
Du coup y = g(y') or y'=f(x') donc g(f(x')) = y cette ligne devient inutile
À mon avis, il vaut mieux séparer dans la démonstration l'existence et l'unicité.
1°) Existence : soit . Puisque
est surjective il existe
tel que
. Pour ce
, puisque
est surjective il existe
tel que
. Cet élément
vérifie donc
.
2°) Unicité : soient dans
tels que
. Puisque
est injective,
et puisque
est injective,
.