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Démonstration du principe de récurrence dans ZF
Posté par Fractal
Bonjour 
D'après wiki, le principe du raisonnement par récurrence est démontrable dans la théorie des ensembles, et une page anglaise en fournit une démonstration (
) .
Ce que j'aimerais savoir c'est s'il reste démontrable dans ZF (c'est à dire qu'on n'accepte pas l'axiome du choix, même s'il ne sert sûrement pas dans la démo) et surtout en logique intuitionniste (il me semble que la démo sur wiki utilise le tiers exclu).
Merci d'avance
Fractal 
Salut !
le raisonement par récurence est une propriété intrinseque de N, lié à la constructuin de N. si tu peut définir une axiomatique satisfaisaite de N alors tu peut raisoner par récurence.
pour la logque intuitioniste j'en sais rien, mais i on peut pas construire N elle doit avoir assez peu d'interet quand meme ^^. mais dans ZF il n'y a aucun proleme, l'axiome du choix n'a rien à voir la dedans.
Ben on peut construire N, c'est même un axiome de ZF. Mais est-ce que le raisonnement par récurrence serait pour autant valide?
Fractal
Ba je te l'ai dit, si tu peut construire N alors tu as le principe de récurence.
le principe de récurence est ce qui caractérise N.
par exemple, si tu prend la construction de Von Neuman, le principe de récurence ce démonre imédiatement, si on a une propriété P tq P(0) et P(n) => P(n+1), alors on fait l'intersection des n telle que non P(n), tu obtiens alors un element u telle que non P(u) mais soit u=0 soit P(u-1). d'ou la contradiction.