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Posté par
infophilere : Développements limités 26-06-07 à 23:27

On a 3$ \rm \cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)

Et 3$ \rm \ln(1+X)=X-\frac{X^2}{2}+\frac{X^3}{3}+o(X^3)

Donc 3$ \rm \cos\[\ln(1+X)\]=1-\frac{1}{2}\(X-\frac{X^2}{2}+\frac{X^3}{3}+o(X^3)\)^2+o(X^3)

Soit 3$ \rm \cos\[\ln(1+X)\]=1-\frac{1}{2}X^2-\frac{1}{2}X^3+o(X^3)

Sauf erreur bien entendu ()

Posté par
infophilere : Développements limités 26-06-07 à 23:36

J'aurais pu me limiter à l'ordre 2 pour ln(1+X) en fait

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Développements limités 26-06-07 à 23:37

allo allo elhor

sinon j'ai pas compris la composition, je ne sais pas comment on fait même après avoir lu le cours

Posté par
infophilere : Développements limités 26-06-07 à 23:39

Ben regarde mon message, j'ai remplacé le DL de ln(x+1) dans celui du cosinus

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Développements limités 26-06-07 à 23:43

Je pense avoir un peeeeetit peu compris mais demain j'essaierai d'analyser le cours

merci beaucoup Kevin... et désolé de t'avoir dérangé

Posté par
infophilere : Développements limités 26-06-07 à 23:47

T'as pas à être désolé, on a dit qu'on s'entraiderait

Bonne nuit !

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Développements limités 26-06-07 à 23:49

Kevin>> oui....

Donc, les fonctions arcs, les côniques et le DEBUT de l'algèbre... Je donnerai tout ce que je peux

Posté par
infophilere : Développements limités 26-06-07 à 23:51

Ca marche

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Développements limités 26-06-07 à 23:55

Posté par
lafol Moderateurre : Développements limités 27-06-07 à 12:44

Bonjour
quand vous faites le produit de deux dl, inutile de tout développer pour ensuite jeter les ordres trop gros :
1) c'est une perte de temps et d'énergie
2) la tentation est beaucoup trop grande d'en garder trop

mieux vaut présenter les deux dl à multiplier l'un en dessous de l'autre, en alignant bien dans les colonnes les mêmes puissances de x

ensuite : terme constant : on multiplie les deux termes constants

terme en x : on part du x de la première ligne, et du constant de la deuxième, on multiplie, on recule d'une colonne dans la première ligne et on avance d'une dans la deuxième, on multiplie et on ajoute le résultat au produit précédent.

terme en x² : on part du x² de la première ligne, et du constant de la deuxième, on multiplie, on recule d'une colonne dans la première ligne et on avance d'une dans la deuxième, on multiplie et on ajoute le résultat au produit précédent, et on recommence : on recule d'une colonne dans la première ligne et on avance d'une dans la deuxième, on multiplie et on ajoute le résultat au produit précédent.

et ainsi de suite.
on ne calcule que ce qui est utile, et on n'a pas la tentation de dépasser les ordres de départ.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Développements limités 27-06-07 à 12:50

lafol>> si t'as un peu de temps devant toi, tu peux me faire un exemple (celui que j'ai posté en premier si tu veux) Merci

Posté par
lafol Moderateurre : Développements limités 27-06-07 à 13:04

\begin{array}ln(1+x)&=&&&x&-&\frac{x^2}{2}&+&\frac{x^3}{3}&-&\frac{x^4}{4}&+o(x^4)\\ \\ (1+x)^{-2}&=&1&-&2x&+&3x^2&-&4x^3&+&5x^4&+o(x^4)\end{array}
terme constant : 0*1 = 0
coeff de x : 1*1 + 0*(-2) = 1
coeff de x² : (-1/2)*1 + 1*(-2) + 0*3 = -5/2
coeff du cube : (1/3)*1 - (1/2)(-2) + 1*3 + 0*(-4) = 13/3
coeff de la puissance 4 : (-1/4)*1 + (1/3)*(-2) -(1/2)*3 + 1*(-4) + 0*5 = -77/12
d'où \frac{\ln(1+x)}{(1+x)^2}=x-\frac{5}{2}x^2+\frac{13}{3}x^3-\frac{77}{12}x^4+o(x^4)

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Développements limités 27-06-07 à 13:13

Astucieux!! merci bcp lafol

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Développements limités 27-06-07 à 13:53

Je vous poste des exos avec mes réponses et vous me corrigez :

Tous les DL sont en voisinage de 0

1) f(x) = sin x + cos x, à l'ordre 5

sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^6) \\ cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^5)

Donc: sinx+cosx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\fbox{o(x^5)+o(x^6)}

qu'est ce que je fais pour les o

Posté par
infophilere : Développements limités 27-06-07 à 13:56

Si tu veux à l'ordre 5 vire le dernier terme

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Développements limités 27-06-07 à 14:03

OK

donc: 3$\fbox{sinx+cosx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^5)}

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Développements limités 27-06-07 à 14:05

c'est: 3$\fbox{sinx+cosx=1+x-\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5)}

Posté par
infophilere : Développements limités 27-06-07 à 14:05

Oui

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Développements limités 27-06-07 à 14:13

Ok. Je continue...

2) f(x) = tan x + tanh x, à l'ordre 3

Même si le DL de tanx est usuel mais je vais le faire

tanx=\frac{sinx}{cosx}

sinx=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^4) \\ cosx=1-\frac{x^2}{2!}+o(x^3)

Donc il faut diviser:
x-\frac{x^3}{3!} par 1-\frac{x^2}{2!} on aura:
x+\frac{x^3}{3}

et donc: tanx=x+\frac{x^3}{3}+\frac{o(???)}

on divise les o()??

Posté par
infophilere : Développements limités 27-06-07 à 14:16

Euh moi je te conseille d'écrire sin(x) * 1/cox(x)

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Développements limités 27-06-07 à 14:18

Ok!

donc il faux composer

On pose; u(x)=1/x et v(x)=cos x

donc 1/cosx= uov(x) c'est ça??

et c'est la composition que je n'aime vraiment pas faire, et je ne m'y connais pas

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Développements limités 27-06-07 à 14:18

faut

Posté par
infophilere : Développements limités 27-06-07 à 14:19

Non il ne faut pas composer

3$ \rm \frac{1}{1-X} avec X=...

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Développements limités 27-06-07 à 14:21

Ok: donc on pose X=1-cosX?

Posté par
infophilere : Développements limités 27-06-07 à 14:22

Oui

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Développements limités 27-06-07 à 14:28

Ok

On a: X=1-cosx et \frac{1}{1-X}=1+X+X^2+X^3+o(X^3)

Donc: \frac{1}{cosx}=1+(1-cosx)+(1-cosx)^2+(1-cosx)^3+o((1-cosx)^3)

Posté par
infophilere : Développements limités 27-06-07 à 14:30

Non il faut te servir du DL du cos avant de remplacer X

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Développements limités 27-06-07 à 14:33

je ne sais pas tout ça

cosx=1-\frac{x^2}{2!}+o(x^3)

\frac{1}{cosx}=1+(\frac{x^2}{2!})+(\frac{x^2}{2!})^2+(\frac{x^2}{2!})^3+o((\frac{x^2}{2!})^3)

Posté par
infophilere : Développements limités 27-06-07 à 14:38

Continue

C'est plutôt o(x²) ici

Posté par
Camélia Correcteurre : Développements limités 27-06-07 à 14:42

Bonjour Kevin et monrow

Je me mêle de ce qui ne me regarde pas, mais...

D'abord pour développer 1/cos x, on a le choix, on peut faire comme dit Kevin,, mais on peut aussi démarrer comme monrow (14:28), puis remplacer 1-cos x par son développement.

Ensuite, il faut quand même faire attention aux ordres. Si on développe cos x jusqu'à o(x3), il y a peu de chances d'obtenir 1/cos x à l'ordre 6.

Comme \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^5) le terme de degré 4 de 1/cos x (14:33) est faux.

lafol a bien raison de dire que l'on a tendance à garder trop de termes, mais il faut aussi faire attention à ne pas en perdre. (Oui, je sais, la vie est difficile!)

Posté par
infophilere : Développements limités 27-06-07 à 14:45

Bonjour Camélia

Tu fais bien d'intervenir, je suis novice et tes remarques me servent aussi, c'est vrai que j'ai pas fait gaffe à l'ordre

Merci

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Développements limités 27-06-07 à 14:47

Citation :
Oui, je sais, la vie est difficile!

Trop

Citation :
Je me mêle de ce qui ne me regarde pas, mais...


Au contraire...

je ne comprends pas comment on va laisser ce o(x²)

Posté par
infophilere : Développements limités 27-06-07 à 14:49

Non je me suis trompé, il faut pousser à un ordre supérieur pour ne pas perdre de termes en route

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Développements limités 27-06-07 à 14:50



alors qu'est-ce qu'il faut faire???

Posté par
infophilere : Développements limités 27-06-07 à 14:53

Prend le cos à l'ordre 5 comme le suggère Camélia

Posté par
Camélia Correcteurre : Développements limités 27-06-07 à 14:59

Allez, je le fais à l'ordre 4, ça me rajeunira!

Or donc: 1-\cos x=\frac{x^2}{2!}-\frac{x^4}{4!}+o(x^4)

\frac{1}{1-(1-\cos x)}=(1-\cos x)+(1-\cos x)^2+(1-\cos x)^3+(1-\cos x)^4+o((1-\cos x))^4

J'ai tout écrit volontairement. Seulement, dans 1-cos x, il y a x2 en facteur, donc j'aurais des termes de degré strictement supérieur à 4 dès (1-cos x)3. Suite:

\frac{1}{\cos x}=(\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24})+\(\frac{x^4}{4}+({\rm termes\ de\ degre\ >4}\)+o(x^4)
et... il n'y a plus qu'à vérifier et à réduire au même dénominateur!

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Développements limités 27-06-07 à 14:59

cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^5)

donc: \frac{1}{cosx}=1+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^4}{4!}+(\frac{x^2}{2!}-\frac{x^4}{4!})^2+(\frac{x^2}{2!}-\frac{x^4}{4!})^3+o((\frac{x^2}{2!}-\frac{x^4}{4!})^3)

je sais que c'est faux

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Développements limités 27-06-07 à 15:01

oui... Merci camélia... donc je vais enlever les termes de degré >3.

mais pourquoi o(x^3)

je ne sais pas contrôler xces o

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Développements limités 27-06-07 à 15:03

Je pense que c'est plus facile si on prends la formule de Taylor-Young et on appelle f(x)=tanx et on cherche f' et f" et tout est beau

non?

Posté par
infophilere : Développements limités 27-06-07 à 15:05

Non c'est plus simple d'utiliser les DL usuels

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Développements limités 27-06-07 à 15:06

OOOk

donc comment peut on trouver o(x^3)

Posté par
Camélia Correcteurre : Développements limités 27-06-07 à 15:11

Ici, vous aviez en plus, une fonction paire. On sait que les termes de degré impair ont des coefficients nuls. En effet, mon développement peut s'améliorer en mettant o(x5) mais j'ai eu peur d'ajouter à la confusion...

La formule de monrow de 14:59 permet-elle de calculer le DL jusqu'à l'ordre 6?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Développements limités 27-06-07 à 15:13

c'est encore faux??   mais je vais enlever les termes dont le degré est suprieur à 3

Posté par
Camélia Correcteurre : Développements limités 27-06-07 à 15:16

Ca dépend de ce que tu veux faire! Si tu le veux à l'ordre 3, il y en a déjà trop!

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Développements limités 27-06-07 à 15:23

oui c'est l'ordre 3

mais ce qui me pose problème c'est la notation o

qu'est ce que je vais y mettre? o(x^3)? mais pourquoi?

Posté par
lafol Moderateurre : Développements limités 27-06-07 à 15:51

monrow : si les o te font peur, écris plutôt des x^n\epsilon(x) , où \epsilon est une fonction de limite nulle en 0 : tu verras mieux quelle puissance de x tu peux garder en facteur

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Développements limités 27-06-07 à 15:54

oui lafol mais ça va rester (x²/2!-x^^4/4!)e(x) ?

on peut pas faire sin/cos ? on ne divise pas les o?

Posté par
lafol Moderateurre : Développements limités 27-06-07 à 15:59

si tu veux faire sin/cos, il y a la division selon les puissances croissantes : tu connais ? (en France, ce n'est plus au programme, mais au Maroc, peut-être que tu y as droit)

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Développements limités 27-06-07 à 16:02

Non, je ne les connais pas... C'est le cours des polynomes/fonctions rationnelles?

sinon, je pense que je vais laisser cette DL

Posté par
lafol Moderateurre : Développements limités 27-06-07 à 16:02

et pour les epsilon :
(x^2/2!-x^4/4!)\epsilon (x) =x^2\epsilon_1(x)
avec \epsilon_1(x)=(1/2 -x^2/4!)\epsilon (x)
qui tend vers 0 si x tend vers 0

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