Bonjour à vous,
Je considère un espace vectoriel normé (de dimension quelconque). Après quelques recherches j'ai pu voir que : pour toute partie et pour tout , il n'est pas toujours vrai de dire : tel que . Avec la distance induite par la norme de .
Mais est-ce vrai si est un sous espace vectoriel de ? Autrement dit la distance à est-elle atteinte pour un élément de son adhérence si est un sous espace vectoriel ?
Merci d'avance de votre aide.
Bonsoir Aalex00.
Pour pouvoir travailler dans ce cadre, il est très utile que les espaces normés soient complets, autrement dit, que ce soient des espaces de Banach.
Dans ce cas, il est vrai de dire : tel que . Avec la distance induite par la norme de .
Bien entendu, même dans ce cadre, l'unicité n'est jamais garantie. Sauf dans les espaces uniformément convexes (les Hilbert en particulier)
Bonsoir jsvdb,
Merci beaucoup de ta réponse !
Dans mon cas j'ai un espace vectoriel normé (de dimension possiblement infinie) et je souhaite montrer que :
Pour cela j'utilise le théorème de Hahn-Banach sous sa forme analytique complexe. Dans le raisonnement j'introduis le sous espace vectoriel de et la forme linéaire
Il me faut ensuite montrer que est de norme . J'ai l'inégalité dans un sens et il me faut trouver une égalité pour un certain point de pour conclure que est de norme .
Mais il donc possible qu'il n'y ait pas de point (ou limite de points) de réalisant l'égalité ? D'ailleurs n'est pas forcément fermé en dimension infinie... (sauf si Banach bien sûr)
Je cherche peut être un problème où il n'y en a pas...
Enfin, peut être qu'il me faut nécessairement une hypothèse de plus que espace vectoriel normé, comme la complétude par exemple ?
Bonjour
Sans vouloir réfléchir à ton problème mais en lisant ce que tu écris, je fais la remarque suivante:
Tu dis vouloir utiliser Hann-Banach alors ça veut dire qu'il faut que E soit complet. Donc où est ton problème?
Bonjour XZ19,
Effectivement, ce que tu cherches à montrer est une conséquence du théorème de Hahn-Banach, pas besoin de sa forme complexe et pas besoin de complétude.
Ah, oui d'accord mais alors ton problème c'est de supposer que E est normé non complet.
Et bien avec cet exemple ça peut peut être t'aider?
Soit
que tu munis d'une norme (au choix) de sorte que E n'est pas complet. et et
Que dire de d(g,F)?
Voilà le cheminement du Théorème de Hahn-Banach et de ses corollaires :
Théorème de Hahn-Banach (version analytique)
Soit un -ev et une application sous-linéaire sur X :
et et pour tout .
Soit un sev de et (le dual algébrique de M; il n'y a pas de topologie dans ce cadre) tels que
Alors il existe telle que prolonge et
C'est le théorème classique de prolongement des formes linéaires. Sa démonstration repose sur le lemme de Zorn.
On a un premier corollaire évident :
Corollaire 1
Sous les mêmes hypothèses et notations que le théorème de Hahn-Banach, on suppose de plus que est une semi-norme et que .
Alors on a l'existence du qui prolonge et vérifie
Cela vient simplement du fait que , que et que
Désormais X est un espace normé.
Corollaire 2
Soit M un sev de X, tel que .
Soit une forme linéaire continue sur , avec la norme induite.
Alors il existe une forme linéaire continue , prolongeant m et de même norme (ie )
Enfin, voilà le corollaire demandé par Aalex00
Corollaire 3
Soit M un sev de X.
Soit tel que
Alors il existe une forme linéaire continue de norme 1, qui s'annule sur M et pas en .
Autrement dit, et
Il est clair ici que ni M ni à fortiori X ne sont complets.
M n'est même pas supposé fermé dans X.
Il ne s'agit donc pas d'un problème de minimisation au sens où l'on cherche un un point de M qui réaliserait un minimum pour la distance induite par la norme.
En revanche, le problème de minimisation est passé en dualité. C'est-à-dire que pour un x donné dans X et qui ne soit pas dans M, on peut trouver une forme linéaire continue qui prend la valeur d(x,M) = Inf d(x,m) pour mM au point x et qui s'annule sur M.
C'est un concept important à comprendre notamment quand on cherche des solutions faibles d'EDP : les problèmes sont passés en dualité.
La démonstration du corollaire 3 repose en deux étapes :
1ere étape :
comme M n'est pas supposé différent de {0}, on monte .
N est bien au moins de dimension 1.
On pose
On construit
On montre que (on montre donc la linéarité et la continuité de )
Puis, à l'aide d'une suite minimisante, on montre que
2de étape :
Comme , on applique le corollaire 2 et on conclut.
(NB : j'avais annoncé 2pages 1/2 de démo, ce qui est faux; en effet, la démonstration que j'ai se poursuit par une démonstration directe dans le cas des espaces de Hilbert, sans passer par Hahn-Banach)
Rebonjour
Je modifie mon exemple car à mon sens c'est plus facile:
Soit muni de la norme
et F le sous espace des fonctions nulle en .
Je garde la fonction ..;
Calculer et vérifier si la distance est atteinte.
@XZ19,
J'ai regardé ton exercice et je dirais que (atteinte en ) en choisissant la norme usuelle mais sans certitudes puisque je n'arrive pas à le montrer .. As-tu une indication à me confier ? Merci à toi.
@jsvdb,
Merci beaucoup pour tes réponses !
Le théorème tel que tu l'énonce est exactement la forme dont je parle (ce je j'appelle la forme analytique réelle). J'en ai récemment refais la démonstration pour bien le comprendre.
Ensuite le corollaire 1, c'est ce que j'appelle la forme analytique complexe (puisque valable sur un -espace vectoriel). J'ai également pris le temps de refaire la démonstration de ce résultat ainsi que celle du corollaire 2 (utilisant le corolaire 1).
Et c'est bien le corollaire 3 que j'essaie de montrer !
Dans la preuve ce qui me manque c'est le point suivant :
Démonstration de la continuité de :
Soit avec .
Avec : est c'est encore vrai.
Par suite est continue et .
Par définition de , il existe une suite de points de M (la fameuse suite minimisante) telle que .
---> L'obligation de prendre une suite minimisante souligne bien la fait qu'on ne peut pas toujours trouver systématiquement un élément de M qui réalise le minimum.
Il vient :
Or car s'annule sur M.
Donc
On passe à la limite : et donc
Conclusion
) muni de la norme n'est évidemment pas complet.
en est bien un sev qui n'est pas fermé.
On considère g(x) = 1 l'élément de E identiquement égal à 1 sur [0,1].
On a d(g,F) = 0 mais la distance n'est pas atteinte à cause de cette obligation qu'ont les fonctions de F de valoir 0 en 0 et on sait qu'avec la norme , la convergence en norme entraîne la convergence presque partout.
Il en va de façon différente pour :
) muni de la norme qui est complet cette fois.
en est bien un sev qui est bien fermé car l'application est (linéaire) continue.
On considère g(x) = 1 l'élément de E identiquement égal à 1 sur [0,1].
On a cette fois d(g,F) = 1 et la distance est atteinte en toute fonction f de F telle que . Ce résultat ne peut être amélioré car toujours on a f(0) = 0 et |f(0)-g(0)| = 1.
Quid de E muni de la norme ? Constatons simplement et sont équivalentes.
@jsvdb faut pas modifier mon exemple.
En effet si on prend seulement et dans ce cas la distance d(g,F) est évidemment atteinte dans
Ce que je ne veux pas.
Le cas évidemment j'en veux pas.
Et puis pour moi N et ne sont pas équivalentes.
@jsvdb,
Ok merci beaucoup. Pour ton message 29-02-20 à 15:50 j'avais pareil pour la continuité et il me semble que la suite est bien la suite que j'introduis dans mon message 29-02-20 à 15:23.
Ton explication est clair, merci bien !
Dans ton message 29-02-20 à 16:23, l'espace n'est pas le même que celui introduit par XZ19 ().
Mais il est intéressant de voir qu'en modifiant la norme cela change du tout au tout. Avec la norme , la distance est même atteinte pour toute fonction telle que .
Dans l'équivalence de et puis-je comprendre que la norme "l'emporte sur la norme ? Autrement dit si j'écris avec à valeur dans , j'aurais également l'équivalence avec , ou est-ce que je me hâte trop vite ?
Bon @jvsbd et @Alex00, si j'ai dit que les normes ne sont pas équivalentes c'est parce que je suis branché sur mon exemple. Pour moi l'équivalence (parce qu'on est dans E), ça ne joue aucun rôle dans le résultat .
Alors je pense vraiment qu'il faut faire attention, car sauf erreur de ma part, le résultat n'est pas lié à l'équivalence des normes.
J'explique: Soit donc F est bien un fermé. Mais pour le reste, il faut tout de même regarder ce que je propose:
Soit la suit définie par et sinon . C'est clair que est continue et donc est dans F.
tend vers 1 donc
Maintenant soit f est continue donc il existe tel que
, sur
On a donc ce qui montre que d(1,F) n'est pas atteint.
J'aurais établi la même conclusion sur l'équivalence des normes (car elles sont bien équivalentes) et sans autre forme de procès. Cela n'aurait pas été correct : Le fait qu'une distance soit atteinte pour une norme n'implique peut-être pas forcément qu'elle le soit pour une norme équivalente. Au temps pour moi.
Cela dit, j'intervenais surtout pour la démonstration du corollaire 3 du théorème de Hahn Banach Et je laisse donc les problèmes de distances atteintes ou pas de côté.
Bonjour à vous,
Merci à vous pour votre aide !
XZ19,
Ok merci pour le détail de ton exemple
Dans la dernière expression je crois que tu voulais écrire au lieu de , et .
Oui c'est une faute de frappe c'est f (et non pas f_n).Par contre c'est bien 1+1/2 c (le 1 vient de la première norme et le 1/2 c vient de l'intégrale. )
Oui oui je voulais juste préciser le pour ne les parenthèses et ne pas confondre avec ..
Histoire que si quelqu'un lit ce forum il n'ait pas de doute, mais dans le contexte c'est clair en fait.
En tout cas merci bien !
Bonsoir,
quelqu'un pourrait me donner un exemple de E, F, x tel que d(x,F) ne soit pas atteinte même dans ?
Merci
@jarod 18 et @Alex00. Je suis étonné tout de même!. Je réponds à la question initiale par mon exemple ci dessus. Et mon exemple c'est exactement la question que tu poses @jarod.
J'ai donné , F sev fermé de E, la norme c'est
En plus j'ai donné la démonstration.
J'aurai pu croire que le sujet était clos, à moins qu'on cherche un autre exemple.
Bonjour XZ19,
J'ai cherché un autre exemple en pensant que jarod128 avait déjà lu les messages précédents..
Bonjour
ça me rassure. En effet je ne suis pas à l'abri d'une erreur. Surtout que je n'avais pas trop réfléchi au problème en entier et ce qui m'avait un peu perturbé
c'est que la réponse est différente alors que les 2 normes sont équivalentes (bien entendu parce que l'espace est restreint aux fonctions continues).
En particulier cet exemple contredit le premier message de @jsvbd (28-02-20 à 21:44)
car il me semble bien que E est complet, F fermé et pourtant la distance n'est pas atteinte.
Alors je pense que ce résultat est vrai mais seulement si on est en dimension finie. Surement parce que les boules sont compactes.
Bref le sujet était intéressant .
Bonjour XZ19,
je suis tout à fait d'accord avec ton exemple, je m'étais perdu dans les différentes questions abordées dans le topic et les différents F proposés.
Merci donc pour l'exemple.
Si je ne me trompe pas, l'astuce vient du fait de prendre une norme qui convient.
Je pose alors la question suivante:
Peux-t-on trouver un autre exemple mais cette fois ci avec F non fermé?
Bonjour
Là pour moi c'est difficile. En effet pour un sev F qui ne soit pas fermé c'est facile d'en trouver mais ils sont denses. Dans ce cas la distance est évidemment atteinte dans la fermeture.
Alors une nouvelle première question serait: peut-on trouver des ses non fermés et non dense d'un evn.
Soit E l'espace vectoriel des suites réelles, bornées muni de la distance associée à la norme ||(u_n)||=Sup(|u_n|). On prend F l'ensemble des suites ayant un nombre fini de termes non nuls. Mais après ça coince...
Si tu prends et , tu as dense dans il me semble :
Soit , on définit la suite d'éléments de par :
Cette suite de tend vers dans .
Dans la recherche d'un tel exemple il est en particulier nécessaire que ne soit pas ouvert non plus (sinon on aura également la densité).
Je prends y0=(0, 0, 0, ...), puis y1=(1, 0, 0, ...), puis y2=(1, 1, 0, ...), puis ... comme indiqué dans mon précédent post. Le représente l'indicatrice.
En fait toute suite qui ne tend pas vers 0 ne peut pas être approchée par une suite de F. On a plutôt si je ne me trompe pas.
F n'est donc ni fermé ni dense. Peut on trouver x dans E tel que d(x,F) ne soit pas atteinte même sur F bar?
Bonjour
@jvsbd je ne vois pas la réponse exacte du problème que tu soulèves. Mais considérons cet exemple
et le s-e-v de H des suites qui vérifie
F est un s-e-v de H, il est dense donc non fermé. Mais je ne vois pas sa codimension, et
par ailleurs si on peut le définir comme un hyperplan ou intersection d'hyperplan.
Mais on peut aussi encore considérer des suites u telles que
et ainsi de suite.
Bonsoir,
J'ai essayé de réfléchir à ta question jarod128 :
Bonjour jarod128,
Oui pardon pour l'imprécision mais j'ai continué sur l'exemple donné :
Non, pour la suite , on a .
En fait on a même .
et représentent respectivement la limite supérieure et la limite inférieure, pas le Sup et l'Inf.
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