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Egalité des applications en théorie des ensembles

Posté par
SkyMtn 18-03-17 à 17:06

Bonjour, je me creuse la tête depuis quelques jours à essayer de démontrer que si f:E\to F et g:E\to F sont deux applications, alors f=g \Leftrightarrow \forall x\in E , f(x) = g(x).

J'utilise la théorie des ensembles de Zermelo et Fraenkel, dans laquelle une application de E vers F est définie comme une partie f de E\times F et vérifiant la propriété d'unicité \forall x\in E, \exists!y\in F : (x,y)\in f.
De plus, on note f(x)=y.

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
luzakre : Egalité des applications en théorie des ensembles 18-03-17 à 17:22

Bonsoir !
Selon ta définition, si x\in E,\;(x,z)\in g,\;(x,z')\in g tu as z=z'.
Si f=g,\;x\in E, prenons z=f(x),\;z'=g(x).
Alors,  tu as (x,z)\in f=g donc (x,z)\in g,\;(x,z')\in g d'où f(x)=z=z'=g(x) .
Réciproquement, si (x,z)\in f on a z=f(x)=g(x) donc (x,z)\in g d'où une inclusion et l'inclusion inverse en échangeant f,g.

Posté par
SkyMtnre : Egalité des applications en théorie des ensembles 18-03-17 à 17:52

Merci beaucoup luzak, c'est plus clair maintenant


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