Bonsoir pppa,

Je peux tenter de t'expliquer le résultat, (mais de manière pas très mathématique je pense).

En binaire, on a :
1 OU 0 = 1 (1 ou 0 = 1 également, le ou est commutatif)
et on a :
0 OU 0 = 0

Donc le fait de rajouter "OU 0" "ne change rien" au résultat..
On peut faire l'analogie avec l'addition, ou le 0 est également l'élément neutre :
A+0 = A

Ici, on a bien A ou 0 = A.
Donc 0 est l'élément neutre du ou binaire.
Tu vois ?


Même chose pour le ET ou l'on peut faire l'analogie avec la multiplication.

Bonsoir Tom-Pascal  

C'est vrai qu'on est aux frontières de l'informatique là,

Effectivement,s'il y a analogie (ou p.e. correspondance, on va dire) entre
- l'addition arithmétique et le OU binaire
- la multiplication arithmétique et le ET binanire

je comprends mieux tt cela.

Encore faut-il le savoir.

Sur l'unicité de l'élément neutre (là c'est + mathématique),  t'as pas d'explication ?

Oui, enfin il n'y a pas de correspondance, juste qu'on est dans le même cas.

A et 1 = A forcément puisque selon les tables de vérité on à la fois 0 et 1 = 0 et 1 et 1 = 1
Donc 1 est l'élément neutre du et binaire.


Pour l'unicité de l'élément neutre, si je comprend l'explication.. mais je ne sais pas si je saurais mieux l'expliquer (je tente quand même).

Dans un premier temps, si on définit , sur un ensemble E, une fonction à deux éléments par : f(x,y)=x, définissant une loi T (non commutative donc !).
Alors, quelquesoit la valeur qu'on donne à y (on va dire pour tout tE), on a toujours x T t = x
On peut donc voir que dans ce cas, tous les éléments de E sont des éléments neutres à droite de la loi T.
Il n'y a pas forcément unicité, vu qu'on vient de trouver un cas avec plusieurs éléments neutres à droite... OK ?

L'autre point nous dit que si on a un élément neutre à droite, et un élément neutre à gauche, alors forcément ils sont égaux en fait.
En effet, si on appelle T la loi, eD l'élément neutre à droite et eG l'élément neutre à gauche, on a par définition, pour tout x de E :
* eG T x = x
* x T eD = x
Si dans la première propriété, on prend x=eD, il vient :
eG T eD = eD
Et dans la seconde propriété, on prend x=eG, on a :
eG T ED = eG
On a donc bien démontré que eD=eG

Est-ce que tu vois un peu mieux ?

Ce soir c'est un peu tard pr y réfléchir, je relis tt ça demain (enfin il est minuit passé, dc ds la journée) et au besoin je relance le topic.

Merci d'essayer de m'aider

Comment fais-tu pr mettre de la couleur ds tes textes postés ? Hormis en LaTeX, je ne sais pas faire sur l'ile ds les fenêtres de réponse ? (fonctionnalité réservée peut être ?)

Oui, il faut être au moins correcteur pour pouvoir utiliser du HTML

Bonsoir.

Si et sont deux éléments neutres, alors en particulier est un neutre à gauche et un neutre à droite, et donc ils sont égaux d'après le point signalé précédemment ...

Bonsoir Arkhnor

Alors prquoi ds l'art. de wikipédia parlent-ils de non unicité pr l'ensemble à au moins 2 éléments (§1 du ss-titre "PROPRIETES") ? Je confirme, je ne vois pas qu'est-ce que ça recouvre comme notion ou comme objet mathématique

Humm, je ne sais pas. Pour moi, c'est simplement une propriété qui est énoncée... Une loi peut avoir plusieurs éléments neutres (à droite ou à gauche). Point.
Ça s'applique par exemple avec la loi qui est justement donnée en exemple [définie par f(x,y)=x]. [en gros une loi de composition interne qui est au moins forcément non commutative]

Après, je ne vois pas plus loin. Je ne sais pas si on veut en venir ailleurs ou s'il a vraiment des cas d'application (surement dans certains exos dédiés, mais ça va rester assez abstrait...).

Je ne suis pas vraiment capable de te donner plus d'explication _{(peut être quelqu'un de plus calé pourra passer ?)}

En fait, je ne comprends pas trop où est le problème.

On est en train de se questionner sur l'unicité des éléments neutres. L'exemple de Wikipédia montre qu'il peut exister plusieurs éléments neutres à gauche pour une loi donnée, tout comme il peut exister plusieurs éléments neutres à droite.

Néanmoins, on vient de montrer que s'il existe à la fois un élément neutre à gauche et à droite, alors ils sont égaux, et donc que dans ce cas, il y a unicité.

Il n'y a pas de contradiction entre ces deux cas, il n'y a même aucun rapport ...

>> Tom¨_Pascal :

>> Arkhnor : dc si on a établi qu'une loi est non commutative, il se peut ou on pourrait concevoir qu'elle admette plusieurs éléments neutre à gauche, mais alors pas à droite.
Ou bien qu'elle admette plusieurs éléments neutre à droite, mais alors ds ces conditions pas à gauche.

Dès lors que pr une lci on trouve un élément neutre à gauche ET un élément neutre à droite, il y a unicité de l'élément neutre.

C'est comme ça qu'il faut  comprendre l'article ?

Hello, bon on se croise. Tu me confirmeras mais dc apparemment ds mon message de 23 h 04 j' ai bien compris...il semblerait,non ?

C'est exactement ça !