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Ensembles

Posté par
NapoleonDuRoy 09-09-23 à 16:09

Bonjour à tous,
Lors d'un DS j'ai rencontré cet exercice :
Il fallait compléter par « est inclus » ou «appartient » :
{N}…P(R)
{1;4}… P(Z)
Le premier est « est inclus » et le deuxième « appartient »
Je ne comprends pas pourquoi l'ensemble qui contient l'élément (ensemble des entiers) est inclus dans l'ensemble des parties de R tandis que le second était appartient.
Pourriez-vous m'éclaire svp ?
Merci beaucoup

Posté par
Ramanujanre : Ensembles 09-09-23 à 16:11

Bonjour,
Pour montrer l'inclusion \{ \N \} \subset \mathcal P(\R).
On prend A \in \{ \N \} et on montre que A \in \mathcal P(\R).
C'est trivial ici.

Posté par
Ramanujanre : Ensembles 09-09-23 à 16:12

Indice : \{ \N \} contient un unique élément...

Posté par
carpediemre : Ensembles 09-09-23 à 16:13

salut

R est un ensemble de nombre
P(R) est un ensemble d'ensemble de nombres

{N} est ...
{1, 4} est ...

Posté par
NapoleonDuRoyre : Ensembles 09-09-23 à 16:14

Je ne comprends pas bien la notation
Si https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?A%20%5Cin%20%5C%7B%20%5CN%20%5C%7D alors A = N non ?

Posté par
NapoleonDuRoyre : Ensembles 09-09-23 à 16:16

Si A=N alors j'en déduis que N est bien une partie de R n'est-ce pas ?

Posté par
NapoleonDuRoyre : Ensembles 09-09-23 à 16:17

{N} est un ensemble d'ensemble de nombres et {1,4} est un ensemble de nombres

Posté par
NapoleonDuRoyre : Ensembles 09-09-23 à 16:18

Ce que je ne comprends pas bien ici c'est qu'on dise que {N} est inclus et non appartient

Posté par
Camélia Correcteurre : Ensembles 09-09-23 à 16:27

Bonjour

Oublie \N.
On a bien 1\in \R et 2\in \R. Que penses-tu de \{1,2\}? et de \{1\}? et de \{2\}?
Sont-ils des éléments de \R?

Posté par
NapoleonDuRoyre : Ensembles 09-09-23 à 16:34

Non ce sont des sous ensembles de R

Posté par
Ulmierere : Ensembles 09-09-23 à 16:48

Si A et B sont deux ensembles
(1) A \subseteq B signifie que \forall a, a\in A\implies a\in B.
(2) A\subseteq B est, par définition, équivalent à dire que A\in\mathcal{P}(B).

Applique ces deux points comme une définition et tu ne te tromperas jamais.


Par exemple, si A = \{ \N, \{0,17\}, \emptyset, \Q\cup\{\sqrt{2}, e\}, \{\frac1n,  n\in\N^\ast\}\} et B = \mathcal{P}(\R), et si on veut savoir si A \subseteq B, on prend chaque élément de A individuellement, et on regarde s'il appartient à B, d'après (1).
Dans notre cas, un ensemble appartient à B si et seulement si c'est une partie de R. Donc un ensemble appartient à B si et seulement s'il est inclus dans R, d'après (2).
Et c'est vrai que tout élément de A est une partie de R, donc que A \subseteq B.

Maintenant, est-ce que A\in B ?
A\in B
si et seulement si A\subseteq\R, d'après (2)
si et seulement si tout élément de A appartient à R.
C'est évidemment faux, puisque l'ensemble vide n'est pas un réel

Posté par
carpediemre : Ensembles 09-09-23 à 17:28

plus simplement en français :

A \in B signifie A est un élément de B

A \subset B signifie tout élément de A est un élément de B

si E = {N} et F = {1, 4} traduit les propositions :

E \in P(\R) \\ E \subset P(\R) \\ F \in P(\Z) \\ F \subset P(\Z)

lesquelles sont vrais ? lesquelles sont fausses ?

question subsidiaire : combien E et F ont-ils d'éléments ? (et bonus : ces éléments sont-ils des nombres ?)

Posté par
NapoleonDuRoyre : Ensembles 11-09-23 à 19:31

Camélia

Non ce sont des ensembles inclus dans R

Posté par
NapoleonDuRoyre : Ensembles 11-09-23 à 19:38

carpediem
- Faux
- Vrai
-Faux
-Vrai

E a un seul élément et F 2.
Non dans le cas de E mais oui dans le cas de F

Posté par
NapoleonDuRoyre : Ensembles 11-09-23 à 19:40

Je crois avoir compris la subtilité !
Merci à tous pour vos réponses !!!

Posté par
ThierryPomare : Ensembles 11-09-23 à 22:29

NapoleonDuRoy : bonsoir. Suite à l'intervention de Carpi, a-t-on \{1,\,4\}\in\Z ou \{1,\,4\}\subseteq\Z, et pourquoi ? Conclusion ?
Bonus : considérons les ensembles \{\emptyset\} et \{\emptyset,\,\{\emptyset\}\}. A-t-on \{\emptyset\}\in\{\emptyset,\,\{\emptyset\}\} ? A-t-on \{\emptyset\}\subseteq\{\emptyset,\,\{\emptyset\}\} ? Dans chaque cas, tu chercheras à justifier ta réponse.

Posté par
ThierryPomare : Ensembles 11-09-23 à 22:42

Suite du bonus : A-t-on \{\{\emptyset\}\}\subseteq\{\emptyset,\,\{\emptyset\}\} ? Pourquoi ?


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