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Niveau Maths sup
Ensembles, applications 2
Posté par jawad
Bonsoir. J'ai un probleme avec un exercice. Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider svp?
Soit E un ensemble. Pour toute partie A de E, on note 
A la fonction caracteristique de A, c'est-a-dire l'application de E dans {0,1} definie pour x
E par A(x)=1 si et seulement si x A.
1) Montrer que l'application 
de P(E) dans F(E,{0,1}) qui a toute partie A de E associe la fonction A est une bijection.
2) Si A et B sont deux parties de E exprimer a l'aide de A et B: A
B, A
B, B\A
Merci d'avance
Quelques indications
Pour le 1), il faut utiliser la définition d'une application bijective.
Tout d'abord, montre qu'elle est injective : supposons que A et B vérifient XA = XB. Montre que A=B. (indication : que signifie A=B?)
Puis qu'elle est surjective : soit A un sous ensemble de E. Construis sa fonction caractéristique.
Pour le 2) essaie de calculer la somme, le produit des deux fonctions, regarde ce que cela donne, et essaie de combiner tout ça pour arriver au résultat. Pour la dernière, rappelle toi que B\A = B(complémentaire de A).
(Et essaie de trouver la fonction caractéristique du complémentaire de A).
Pour le 1) c'est bon j'ai compris. Est-ce que vous pourriez me detailler un peu le debut du calcul a realiser a la deuxieme question svp?
Je te donne un exemple. Prenons deux ensemble A et B.
XA*XB(x) = 0 si x n'est pas dans A, 0 si x n'est pas dans B, 1 si il est dans les deux. Donc ?
XA + XB (x) = 0 si x n'est ni dans A ni dans B, 1 s'il est dnas l'un des deux, 2 s'il est dans les deux. Ca ressemble à une réunion, sauf qu'on n'a pas le bon terme quand on est dans l'intersection. Essaie de bidouiller avec le premier résultat.
Pour le dernier, l'indication est déjà au dessus.