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:*: Ensembles et applications :*:

Posté par
infophile 03-09-07 à 18:37

Bonjour

Citation :
Soit A et B deux sous ensemnbles de E. On considère l'équation (\ast) A\cap X=B d'inconnue X\in P(E).

a) Donner une condition nécessaire et suffisante (H) pour que (\ast) possède au moins une solution.

b) On suppose dans cette question (H) vérifiée.

Démontrer que X est solution de (\ast) si et seulement si il existe M\in P(\bar{A}) tel que X=B\cup M.


a) B\in X

b) Par double implication ?

\fbox{\Longright}

A\cap X=B\Longright (A\cap X)\cup M=B\cup M\Longright (A\cup M)\cap (X\cup M)=B\cup M

Et là je suis bloqué. Ayoub m'a parlé d'une autre méthode mais sur le coup je n'ai pas bien compris.

Un coup de main ?

Merci !

Posté par
infophilere : :*: Ensembles et applications :*: 03-09-07 à 18:40

Je voulais mettre a) B dans A

Du coup l'implication inverse est simple.

Posté par
infophilere : :*: Ensembles et applications :*: 03-09-07 à 18:44

\fbox{\Longleft}

X=B\cup M\Longright A\cap X=A\cap (B\cup M)\Longright A\cap X=(A\cap B)\cup (A\cap M)=A\cap X=B car M\in P(\bar{A})\Right A\cap M=\empty et B\in A\Right A\cap B=B

Posté par
lafol Moderateurre : :*: Ensembles et applications :*: 03-09-07 à 19:26

bonjour
dernière ligne de 18:44 : B inclus dans A et non B élément de A ....
reste à voir la réciproque (existence de M)

Posté par
infophilere : :*: Ensembles et applications :*: 03-09-07 à 19:28

Coucou

Oui pardon B inclus dans A.

Je bloque sur la réciproque justement

Posté par
lafol Moderateurre : :*: Ensembles et applications :*: 03-09-07 à 19:30

Si tu veux que A inter quelque chose = B, il faut que le quelquechose ne contienne rien d'autre que ce qui est dans B en commun avec A

Posté par
infophilere : :*: Ensembles et applications :*: 03-09-07 à 19:31

Oui j'avais dis à Ayoub que X\cap A\cap \bar{B}=\empty mais il a fait autre chose lui apparemment

Posté par
lafol Moderateurre : :*: Ensembles et applications :*: 03-09-07 à 19:37

De la même manière que tu as établit que nécessairement B inclus dans A, tu peux dire que B inclus dans X, si A inter X = B

à partir de là, X = B union (le complémentaire de B dans X)

on pose M = le complémentaire de B dans X
reste à vérifier que M inclus dans A barre. tu essayes ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : :*: Ensembles et applications :*: 03-09-07 à 20:19

Salut Kévin

juste pour être rigoureux

la CNS de la première question est: 3$B\subset X et non 3$\in

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : :*: Ensembles et applications :*: 03-09-07 à 20:23

C'était juste pour taquiner, je viens de voir que t'as rectifié :P

Posté par
infophilere : :*: Ensembles et applications :*: 03-09-07 à 20:44

Ok j'ai trouvé :

M=\bar{B}\cap X=\overline{A\cap X}\cap X=\bar{A}\cap (\bar{X}\cap X)=\bar{A}\cap E donc M\subset \bar{A}

Salut mohammed

Et merci lafol

Posté par
Dremire : :*: Ensembles et applications :*: 03-09-07 à 21:46

\Leftrightarrow:
\forall X\subset E,\ X=(X\cap A)\cup (X\cap \bar{A})
donc X\,:\,A\cap X=B\ \Leftrightarrow\ X=B\cup (X\cap \bar{A})\ \Leftrightarrow\ X=B\cup M,\ M\subset\bar{A}.

Posté par
infophilere : :*: Ensembles et applications :*: 03-09-07 à 21:51

Bien vu plus expéditif

Merci Dremi

Posté par
lafol Moderateurre : :*: Ensembles et applications :*: 04-09-07 à 13:24

D'autant plus, kévin, que le complémentaire de l'intersection est l'union des complémentaires (et X barre inter X = vide, pas E)


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