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Niveau terminale
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Étude de fonction avec paramètre

Posté par
zPersianBoy 07-11-20 à 13:37

Bonjour à tous,

J'aurai besoin d'aide concernant un exercice dont voici l'énoncé :

«  Soit la famille de fonctions f(x)= arccos ( (ax)/(x^2 +1))
a) Étudier les variations de ces fonctions suivant les valeurs du paramètre réel a
( domaine, parité, racine, signe, asymptote et limite, (de)croissance et extrême éventuels)
b) déterminer l'équation des tangentes ou demi-tangente aux point particuliers ( bornes du domaine, extrema et en x=0)
c) Tracer les différents graphes possibles (6 cas différents).

J'ai commencé par déterminer le domaine de la fonction générale pour  essayer de trouver les différents cas possibles : -1_< (ax)/(x^2 +1)_<1
J'ai séparé en deux inéquations:
1)(-x^2 +ax -1)/(x^2 +1) _<0
2)(x^2 + ax+1)/(x^2 +1)>_0
Ce qui revient à étudier à chaque fois le signe des numérateurs ( puisque les dénominateurs sont strictement  positifs).
Pour la 1) le discriminant vaut a^2 -4
- Si il est strictement positif ( « a » appartient à l'intervalle <-; -2[U]2;->
et on a deux racines qui valent
(-a+sqrt(a^2 -4))/(-2) et
(-a-sqrt(a^2 -4))/(-2)
et donc le domaine va de -inf jusqu'à la première racine,union, de la deuxième racine jusqu'à l'infini

Si le discriminant est négatif ( a=+ ou -2)
On a une racine en a/2 et le domaine est R
Si le discriminant est négatif ( entre -2 et 2 non compris ), pas de racine et donc le domaine est R

J'ai fait la même chose avec la seconde inéquation. Le discriminant est le même
Quand le discriminant est nul ou négatif le domaine est R mais si il est positif,
« a » appartient à l'intervalle <-; -2[U]2;-> et j'ai fait une intersection entre les domaines obtenues pour les deux cas ou le discriminant est strictement positif

Finalement, je me retrouve avec les cas suivants:
a=+ ou -2 et dom R
a appartient à ]-2;2[ et dom R
a appartient à l'intervalle <-; -2[U]2;->
oú le domaine est divisé en 3 morceaux

Ce qui me fait que 4 cas sur les 6 demandés mais je ne vois pas ce qui pourrait y avoir d'autre

Merci d'avance pour vos réponses

Posté par
malou Webmasterre : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 13:45

Bonjour
mais que fais-tu ?
quand une fraction est-elle définie ?

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 13:49

Bonjour

Sauf erreur de ma part , dans ce cas ci je ne vois pas de conditions d'existence sur la fraction puisque le dénominateur n'est jamais nul

Posté par
malou Webmasterre : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 14:20

ben voilà, tout simplement !

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 14:47

Ducoup est-ce que les 4 premiers cas sont bons ?

Posté par
malou Webmasterre : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 14:51

ben je ne vois pas à quelle question tu réponds avec ces différents cas...
si tu répondais aux questions dans l'ordre, point par point...

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 15:06

J'essaie d'abord de trouver les différentes possibilités/ cas possibles( 6 demandées) et puis de les analyser comme c'est demandé au point a et b

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 15:07

Vu qu'au point a il est demandé de : « Étudier les variations de ces fonctions suivant les valeurs du paramètre réel a »

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 16:06

salut,
il y a 6 cas car le signe de a joue sur le sens de variation
rq tu as une relation entre acos(-X) et acos(X) qui permet de travailler d'abord avec a>0 et x>=0
il faudra du monde sur ce topic car c'est surement un peu long...

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 17:37

Ducoup tout ce que j'ai écrit dans le premier message est bon ou je dois tout reprendre depuis le début ?

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 17:39

pour verifier les calculs on peut modifier cette session Xcas pour Firefox
j'ai choisi a=3 dans cette session, il suffit de changer la valeur de a puis d'executer la session pour une nouvelle valeur de a

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 17:40

je pense que tu te debrouilles bien mais quel boulot !
Où fait on ça en terminale ?

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 17:43

sans astuce tu as 6 cas
a<-2
a=-2
-2<a<0
0<a<2
a=2
a>2

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 17:49

Merci alb12

Il s'agit d'un travail de complément sur le chapitre des fonctions cyclometriques.
Option Math 8heures/sem (Belgique)

Posté par
malou Webmasterre : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 17:50

Merci alb12 d'être intervenu, en réalité mon cerveau n'avait pas lu le "arcos"...ça va mal

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 17:54

Pour :
a<-2
-2<a<0
0<a<2
a>2

Vous avez juste diviser les intervalles <-; -2[U]2;-> et ]-2;2[ en deux intervalles ou a
est négatif ou positif car cela change au niveau du signe de la dérivée?

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 17:56

tout à fait, as tu calcule la derivee ?
bravo les belges pour leur niveau en maths

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 18:06

J'obtiens
f'(x) = (ax^2 -a)/[(x^2+1)^2)/(|x^2+1|) * sqrt (x^4+1+(x^2(2-a^2))]

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 18:12

tu peux verifier dans le lien que j'ai donne
on voit donc que la derivee est du signe de a*(x^2-1)

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 18:14

Donc le dénominateur est tjrs positif et n'intervient pas dans le signe de la dérivée ?

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 18:15

oui bien sur

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 18:18

Si a est négatif  : min en -1 et Max en 1
Si a est positif  : Max en -1 et min en 1

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 19:13

c'est plus complique que ça
il faut ranger les valeurs qui annulent la derivee 1 et -1 et les bornes quand elles existent du domaine
par exemple pour a=3 le tableau des variations est :

\\ \left(\begin{array}{cccccccccccccc} \\ x & -\infty  &   & \frac{(-\sqrt{5}-3)}{2} &   & \frac{(\sqrt{5}-3)}{2} &   & 0 &   & \frac{(-\sqrt{5}+3)}{2} &   & \frac{(\sqrt{5}+3)}{2} &   & +\infty  \\ \\ y'=(\frac{3\cdot (x-1)\cdot (x+1)}{(x^{2}+1) \sqrt{x^{4}-7\cdot x^{2}+1}}) & 0 & + & [+\infty ,\infty ] & X & [\infty ,-\infty ] & - & \mathrm{||} & - & [-\infty ,\infty ] & X & [\infty ,+\infty ] & + & 0 \\ \\ y=(\mathrm{acos}\left(\frac{3\cdot x}{(x^{2}+1)}\right)) & \frac{1}{2} \cdot \pi  & \nearrow  & \pi  & X & \pi  & \searrow  & \frac{1}{2}\cdot \pi  & \searrow  & 0 & X & 0 & \nearrow  & \frac{1}{2}\cdot \pi \\ \end{array}\right) \\

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 19:39

Ok merci alb

Je vais commencer par les cas les plus simple ou a est égale à + 2 et -2 et je vous tiens informé de ce que je trouve

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 19:41

Juste au niveau de la parité : ces fonctions sont toutes quelconques ( ni paire, ni impaire)?

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 20:03

oui ni paires ni impaires
il y a une symetrie mais ce n'est pas demande dans ton enonce

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 20:11

session pour a=1/2

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 20:42

Pour a = 2 j'obtiens une dérivée définie par morceau et aucun sommet tel que f'(x) vaut 0

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 20:47

Par contre quand il faut chercher l'équation des tangentes aux bornes du domaine, si le domaine est R on ne peut pas le faire ?

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 21:03

zPersianBoy @ 07-11-2020 à 20:42

Pour a = 2 j'obtiens une dérivée définie par morceau et aucun sommet tel que f'(x) vaut 0

la derivee est 2*(x-1)*(x+1)/abs(x^4-1)
en 1 et -1 il faut chercher les limites à droite et à gauche de cette derivee
session pour a =2

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 21:05

zPersianBoy @ 07-11-2020 à 20:47

Par contre quand il faut chercher l'équation des tangentes aux bornes du domaine, si le domaine est R on ne peut pas le faire ?

si f est derivable sur R alors aucune etude à faire, la courbe admet une tangente en chacun de ses points

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 21:09

as tu essaye de tracer les courbes en faisant varier le reel a ?

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 21:21

Oui je l'ai fait et pour le moment mes calculs sont corrects

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 21:23

Mais pour la dérivée quand x = 2 j'obtiens
(2(x^2 -1))/((x^2 +1)* abs(x^2 -1))

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 21:30

oui c'est ma formule de 21h03
cette expression  a une limite à droite et à gauche en 1 et en -1

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 21:32

Oui j'ai calculer les dérivées à droite et à gauche de ces points ce qui me donne deux points anguleux

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 21:46

oui tres bien

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 21:48

J'ai tout fini pour a = 2 et a = -2

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 21:50

ok il reste les cas 0<a<2 et a>2

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 21:55

Et a<-2 et -2<a<0

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 22:04

Quand je trace le graphe lorsque x = -3 je vois qu'il n y a pas de racine mais je n'arrive pas à le justifier?

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 22:05

je ne sais pas si c'est utile ce sont les memes methodes, ou alors pour s'entraîner

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 22:06

Je n'ai pas compris ce que vous voulez dire

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 22:10

zPersianBoy @ 07-11-2020 à 22:04

Quand je trace le graphe lorsque x = -3 je vois qu'il n y a pas de racine mais je n'arrive pas à le justifier?

garde a quelconque
f n'est pas definie sur 2 intervalles que tu as trouves au debut
positionnes 1 et -1 par rapport aux bornes de ces intervalles
voir mon tableau de 19h13

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 22:13

Ah oui je vois

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 22:18

Mais là je fais le cas ou a < -2 et donc je ne peux pas utiliser -1

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 22:19

Je ne vois toujours pas comment justifier l'absence de racine

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 22:23

pour trouver le signe de la derivee il faut savoir si x est entre -1 et 1 ou pas et ceci pour toute valeur de a
donc il faut positionner -1 et 1 par rapport aux bornes de l'intervalle où la fonction n'est pas definie

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 22:24

quelles sont les bornes de l'ensemble de definition en fonction de a ?

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 22:29

<-; (a-sqrt(a^2 -4))/2) compris , union ,
(a+sqrt(a^2 -4)/(2) ;( -a-sqrt(a^2 -4)/(2) tout deux compris, union ,[ (-a+sqrt(a^2 -4)/(2)) jusqu'à l'infini
Si a < -2

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