Bonjour

Un exemple : montre que toute application f de IR dans lui même peut s'écrire d'une manière et d'une seule comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire

et comment on utiliserais l analyse synthese pour demontrer cela

Bonjour,

Ce n'est de moi. Je l'ai pris d'un site.

Le raisonnement par analyse-synthèse est un type de raisonnement mathématique permettant de démontrer l'existence et l'unicité d'un objet vérifiant des propriétés données. Il se décompose en deux parties :

l'analyse : on suppose que l'objet existe et on essaie de trouver des conditions nécessaires que doit vérifier cet objet. Ce faisant, on prouve que si l'objet existe, alors il est nécessairement égal à une certain objet (ceci assure l'unicité).
la synthèse : on considère l'objet identifié dans la partie analyse, et on vérifie qu'il a bien les propriétés voulues (ceci assure l'existence).

nass956
    L'ASC ( analyse , synthèse , conclusion ) intervient dans tous les problèmes de recherche .
Si on cherche l'ensemble S formé des éléments d'un ensemble E vérifiant certaines conditions  on commence par dire que si S est non vide alors il est contenu dans tel autre ensemble T beaucoup plus agréable . Cette partie est appelée " analyse " . Elle peut se faire en grand nombre d'étapes .

Ensuite on regarde si tous les éléments de T sont dans S . Si ce n'est pas le cas on se débrouille pour ne  garder que ceux qui sont dans S  en excluant ceux qui n'y sont pas .
Cette partie est appelée " synthèse " .
Si l' analyse est très bien faite , on n'exclut rien .

Pour faire joli on termine en disant : on a donc S = .. ,( c'est la "conclusion" )
   On   préfère souvent cette façon de faire  à celle qui consiste à procéder par équivalence pour au moins deux raisons :  
   .On peut facilement croire qu'une équivalence est vraie alors qu'il n'y a strictement qu'une implication de vraie .

  .S'il faut n étapes pour un raisonnement par équivalences il suffit souvent d'une seule étape dans la synthèse (et n dans l'analyse) donc n + 1 étapes au lieu de 2n .


Un exemple : Trouver  l'ensemble S formé des applications  y : qui sont dérivables et vérifient xy'(x) + y(x) = sin(x) pour tout x de .
  
Analyse : Soit y S .
  On a déjà y(0) = 0.
  Si u est l'application x xy(x) on a : u '  = sin = (-cos )'  donc il existe c réel tel que u = c - cos  ou encore xy(x) = c - cos(x) pour tout x de .
Pour x non nul on a donc y(x) = ( c - cos(x))/x
On peut arrêter  là l'analyse .
Mais on ne peut pas passer à côté du fait que y est continue en 0 et donc que ( c - cos(x))/x 0 quand x   0 et donc que c = 1 .

Pour la synthèse il faut voir si f :   définie par f(0) = 0 et f(x) = ( c - cos(x))/x pour x non nul vérifie  xf(x) + f(x) = sin(x) pour tout x et si f est dérivable .
Seule la dérivabilité de f en 0 pose problème  .
Tu regardes donc si (f(x) - f(0))/(x - 0) a une limite quand x tend vers 0 .

Si oui tu diras en conclusion que S = {f}  er si non que S = .