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exercice récurrence

Posté par
solidad01 10-08-18 à 10:47

Bonjour tout le monde , j'espère que vous passez une bonne journée et que je ne vous dérange pas trop pendant cet été .

Je bloque à l'exercice suivant si vous pourriez m'aider mercii !! :

On se donne n réels : x_{1},x_{2},....x_{n} dans [0,1]. On pose s(x_{1},x_{2},....x_{n} )= \sum_{1\leq i\leq j\leq n}^{}{\left|x_{j}-x_{i} \right|}
Cette quantité est donc la somme des distances entre les différents xi.

1-Montrer qu'on peut choisir x_{1},x_{2},....x_{n} de telle sorte que :
Si n est pair ( n=2m) alors s(x_{1},x_{2},....x_{n})=m^2

mercii

Posté par
jsvdbre : exercice récurrence 10-08-18 à 12:13

Bonjour solidad01.
Il me semble que si on choisit x_{2p-1}=0 et x_{2p} = 1 pour p de 1 à m alors ça devrait marcher. A vérifier.

Posté par
DOMOREAexercice récurrence 10-08-18 à 12:46

bonjour,
@jsvdb
Ton choix est astucieux, je n'ai pas vérifié sa justesse bien que cela semble "marcher"
mais le texte dit:

Citation :
On se donne n réels :  dans [0,1].
Tu choisis 2 réels 0 et 1, Faut-il comprendre le texte comme n réels distincts ou non ?

moi je pensais pouvoir déterminer  une distance d pour  définir n réels   0< x_1\le x_2\le... \le x_n<1 tels que \forall i , 2\le i<n,   x_i-x_{i-1}=d

Un dénombrement relativement facile  (utilisant une somme de combinaisons) des distances  d  permet de déterminer d pour que cette dite somme soit égale à m²=n²/4 et que (n-1)d \le 1 à vérifier

Posté par
Leilere : exercice récurrence 10-08-18 à 12:51

bonjour solidad01,
une idée :
avec n = 2,   on choisit x1 =0 et x1 = 1  , c'est vrai.
on a une distance egale à 1  ==>   S = 1 ,  m=1  et n² = 4
  m ²   = n² / 4

avec n éléments,   si tu en poses   n/2 = 0   et les autres n/2 = 1 ,
il y a alors  n²/4 distances toutes egales à 1 (les autres sont nulles)
donc S = n²/4

ça ne répond pas exactement à ta question (pas de démo par récurrence), mais ça t'aidera peut-être ?

Posté par
Leilere : exercice récurrence 10-08-18 à 12:53

je n'avais pas vu les posts précédents, désolée.
Je vous laisse.
bonne journée à tous.

Posté par
jsvdbre : exercice récurrence 10-08-18 à 14:27

@DOMOREA : bah tu sais, je ne me suis pas foulé, j'ai mis m points en face de m points et noté les liaisons possibles :

x m     m-1  x
x m-1 m-2 x
x m-2 m-3 x
***
x 2            1  x
x 1             0 x

Il n'y a plus qu'à dénombrer le nombre de liaisons : m + 2((m-1) + (m-2) + \cdots + 1) = m+m(m-1) = m^2

Posté par
jsvdbre : exercice récurrence 10-08-18 à 14:41

Après si on veut procéder à une étude plus globale, on peut toujours étudier :

s : [0;1]^{2m} \rightarrow \R_+;~s(x_{1},x_{2},....x_{2m})=\sum_{1\leq i\leq j\leq 2m}^{}{\left|x_{j}-x_{i} \right|}

Cette fonction paraît raisonnablement continue, différentiable en pas mal de points de l'hypercube [0;1]^{2m}.

Il suffit de trouver son maximum, voir s'il dépasse la valeur m^2 et où.

Posté par
solidad01re : exercice récurrence 10-08-18 à 14:44

j'ai vraiment du mal à savoir comment vous faites pour calculer les distances :x

Posté par
DOMOREAexercice récurrence 10-08-18 à 16:17

Bon ma méthode ne marche pas
Il y a incompatibilité entre s_n=\frac{n^2}{4} et les points tous distincts, on peut le démontrer,

donc je n'ai plus rien à dire sur votre méthode (jsvdb et Lelle). en effet quitte à confondre des points, autant se limiter à 2
C'est tout de même perturbant de parler de n réels quand il n'y en a que 2

Posté par
jsvdbre : exercice récurrence 10-08-18 à 16:33

Je dirai même frustrant.
Mais en utilisant l'autre méthode, on aurait peut-être moins de frustration. Disons au moins quant à l'existence du 2m-uplet de coordonnées toutes distinctes.

Posté par
jsvdbre : exercice récurrence 10-08-18 à 16:56

Notons déjà qu'avec deux points, les seuls qui répondent à la question, sont x_1 = 0 et x_2 =1

Avec 4 points, mettons x_1 = 0; x_2 = a; x_3 = b; x_4 = 1, une simple opération montre que |a-b| = 1.

0---a------b------------1

On doit résoudre : (a +b+1)+(b-a+1-a)+(1-b) = 4 soir 3+b-a = 4 ce qui ne laisse pas le choix sur a et b ni sur le fait qu'il faille x_1 = 0 et x_4 = 1

Posté par
DOMOREAexercice récurrence 10-08-18 à 17:42

jsvdb,

Citation :
Mais en utilisant l'autre méthode, on aurait peut-être moins de frustration.
??
à quoi penses-tu quand tu parles d'une autre méthode ? En confondre moins ? Cela ne change pas grand chose.
En fait ce qui m'a le plus perturbé, c'est que si on effectue la somme f(d) des distances en fonction de la distance d entre 2 points consécutifs, alors la condition f(d)=m² implique que la distance entre les 2 points extrêmes est supérieure à 1.
Donc dans l'exercice le nombre m² n'a pas été choisi au hasard.
avec n=4 on a m²=4
si on a 0\le x_1\le x_2\le x_3\le x_4 \le 1

S= 3(x_4-x_1)+(x_3-x_2)=4 comme x_3-x_2 \le x_4-x_1 il est clair que la seule solution est x_4-x_1=1 et x_3-x_2=1
ce qui implique x_1=x_2=0; x_3=x_4=1 et on retrouve cette propriété pour tout n pair.
S_n=a_{1,n}(x_n-x_1)+a_{2,n-1}(x_{n-1}-x_2)+... +a_{m+1,m}(x_{m+1}-x_m) avec a_{1,n}+a_{2,n-1}+...+a_{m+1,m}=m^2


En revanche je ne vois pas ou est la récurrence ( voir titre) dans l'exercice

Posté par
jsvdbre : exercice récurrence 10-08-18 à 18:18

DOMOREA @ 10-08-2018 à 17:42

jsvdb,

Citation :
Mais en utilisant l'autre méthode, on aurait peut-être moins de frustration.
??
à quoi penses-tu quand tu parles d'une autre méthode ?

Eh bien à ceci : exercice récurrence

Posté par
solidad01re : exercice récurrence 10-08-18 à 20:38

jsvdb @ 10-08-2018 à 16:56

|a-b| = 1.




pourquoi la distance =1 ?

Posté par
jsvdbre : exercice récurrence 10-08-18 à 20:54

Je l'explique juste après

Posté par
solidad01re : exercice récurrence 10-08-18 à 21:03

d'où vient l'idée de résoudre (a+b+1)+(b-a+1-a)+(1-b)=4

Posté par
carpediemre : exercice récurrence 10-08-18 à 22:10

salut

on peut remarquer que s = \sum_{1 \le i \le j \le n}  |x_i - x_j| = \sum_{1 \le i < j \le n} |x_i - x_j| ...

à permutation près on peut considérer les termes dans l'ordre décroissant ...

alors   s = \sum_{i = 1}^{n - 1} \sum_{j = i + 1}^n (x_i - x_j) = \sum_{i = 1}^{n - 1} \left[(n - i)x_i - \sum_{j = i + 1}^n x_j \right] = \sum_{i = 1}^{n - 1} (n - i)x_i - \sum_{i = 1}^{n - 1} \sum_{j = i + 1}^n x_j = \sum_{i = 1}^{n - 1} (n - i)x_i - \sum_{j = 2}^n (j - 1)x_j = \sum_{i = 1}^n (n - i)x_i - \sum_{i = 1}^n (i - 1)x_i = \sum_1^n(n - 2i + 1)x_i

si n = 2m alors \sum_1^n (n + 1 - 2i)x_i = m^2 est l'équation d'un hyperplan H de \R^n

or la distance de l'origine O à cet hyperplan H est  d = \dfrac {m^2} {\sqrt {\sum_1^n (n + 1 - 2i)^2}}

et \sum_1^n (n + 1 - 2i)^2 = n(n + 1)^2 - 2n(n + 1)^2 + 4 \sum_1^n i^2 = \dfrac 2 3 n(n + 1)(2n + 1) - n(n + 1)^2 = \dfrac 1 3 (n - 1)n(n + 1)

donc d = \dfrac {\sqrt 3 n^2} {2 \sqrt {(n - 1)n (n + 1)}} \approx \dfrac {\sqrt 3} {2 \sqrt n}

donc cet hyperplan rencontre l'hypercube de diagonale le segment d'extrémités l'origine O et le point de coordonnées (1, 1, 1, ..., 1)

on peut donc trouver n réels répondant à la question ...

sauf erreur

Posté par
jsvdbre : exercice récurrence 11-08-18 à 00:30

Eh bin voilà, je savais bien que c'était faisable ...


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