salut

ben il suffit de calculer le module de f(z) ...

Je ne suis pas sur d'avoir bien compris en quoi ça nous montre que ça préserve  D,
il faut que le module de f soit inférieur à 1?

Bonjour adeletrgy.
Alors dans ce cas, il faudrait mettre des définitions sur les mots!
Quand on te dit qu'une application préserve le disque unité, que comprends-tu ?

Pour moi, c'est si on donne à l'application le disque unité elle nous redonne le disque unité, il est invariant pour f.
Mais le disque unité correspond à l'ensemble des nombres complexes de modules inférieur à 1.
Alors je crois je suis perdu peu être vous avez une meilleur définition de l'image du disque unité par f?

A mon avis, il faut vérifier 2 choses :

Si z est dans le disque unité, alors f(z) aussi en calculant le module de f(z).

Mais aussi que si c est dans le disque unité, il faut résoudre à mon avis l'équation et vérifier qu'il existe un z solution dans le disque unité.

Bonjour,

On peut montrer que:

merci beaucoup pour vos réponses je vais essayer de calculer tout ça!

lionel52 : tout le pb est là : que signifie le verbe préserver ?

est-ce la définition de jsvdb :

est-ce ta définition :   (ou encore f est surjective sur D)


le plus naïvement et naturellement et par expérience j'aurais évidemment opté pour la première ... (qui n'est bien sur pas contradictoire avec la seconde mais moins forte bien sur)

maintenant on a un bon exercice :

1/ montrer que f(D) D.
2/ f est-elle surjective ? (voire plus même)

carpediem

on peut avoir f(D)D et f surjective sur D sans que f(D)=D ... non ?

on peut très bien avoir certains points de D qui sont images de points en dehors de D sans contre-dire  f(D)D

Bah d'un côté on nous parle de préserver D de l'autre côté on nous dit que D est invariant par f... Donc je sais pas!  

matheuxmatou : effectivement !!!

mais on peut toujours se poser la question de savoir si f est surjective de D sur D
(indépendamment qu'elle le soit de C sur D)

mais on peut toujours se poser la question de savoir si f est surjective de D sur D
(indépendamment qu'elle le soit de C sur D)

moi je comprends simplement f(D)D ... c'est peut-être mon côté "fainéant" !

mais c'est vrai qu'il faudrait définir le machin un peu plus rigoureusement

moi itou ... et c'est surement mon côté "efficacité" : en faire le moins possible pour en obtenir le plus possible

adeletrgy

extrait de la FAQ du forum :

Q10 - Puis-je insérer des symboles mathématiques afin de faciliter la lecture de mon message ?

Oui, cela est même encouragé.

Les correcteurs sont généralement plus attirés par un message bien écrit en Latex et bien présenté que par un message écrit avec les caractères normaux, non aéré, etc.

Le Latex est un outil mathématique qui pouvait nous permettre à tous de faciliter la lecture et la compréhension en écrivant proprement nos formules mathématiques. Nous vous invitons à prendre connaissance du guide latex présent sur le site. Un tutorial complet vous aide à faire vos premiers pas.
Bien-sûr, l'utilisation du Latex n'est pas obligatoire, mais pourquoi se priver d'un tel outil ?

Si ce langage vous semble trop compliqué à utiliser dans un premier temps, il vous est cependant possible d'insérer très simplement des caractères mathématiques dans votre texte en utilisant l'outil présent sous la zone de saisie du message. La liste complète des caractères mathématiques est disponible dans le mode d'emploi du forum.

c'est du lourd !!! char d'assaut ou bulldozer ?

de l'énoncé initial on ne sait pas :

1/ ce qu'est le disque unité (ouvert ou fermé)
2/ ce que signifie le verbe préserver


et je reviens sur la remarque de matheuxmatou : elle est pertinente ... mais hors de propos si on sous-entend à minima qu'on part de D (de part la définition "normale" de préserver ... qui au moins considère comme nous l'avons pensé tous les deux qu'on demande f(D) D

ensuite on peut demander plus fort comme lionel52 : f(D) = D (car pour avoir cette égalité il est bien sur nécessaire d'avoir l'inclusion) et alors c'est équivalent à la surjectivité de D sur D

et ceci indépendamment du fait que des éléments de C aient une image dans D

car pour parler de préserver c'est qu'on part évidemment de D ...


ce me semble-t-il ...

Conclusion :
d'après le théorème en rouge on va donc montrer formellement que f est bijective en exhibant pour ça l'application réciproque formelle. C'est une homographie ... donc facile !
On vérifie que f est bien définie sur ainsi que la réciproque.
On vérifie ensuite que ainsi que dans et c'est gagné ...

jsvdb
ta fonction holomorphe ici ne vérifie pas f(0)=0, sauf erreur de ma part.

matheuxmatou
Certes, mais en fait, ce qui nous intéresse surtout c'est le théorème rouge où cette hypothèse n'est pas requise.
Le théorème bleu n'est là que pour aider à démontrer le théorème rouge.

Le fil bleu sur le bouton bleu, le fil rouge sur le bouton rouge

jsvdb
dans ton post du 5 à 10:05 tu disais bien que la question était simplement (puisque "pas de quoi paniquer" !) de montrer f(D)D

voilà, restons-en là... et je ne crois pas que l'auteur a une théorie des fonction holomorphes à sa disposition...

je ne connais pas ce théorème (le rouge !)

Je n'avais sorti ces "bulldozers" que pour clarifier l'énoncé
Ceci dit sa démonstration du rouge est intéressante et utilise le principe du maximum. Ce qui évite (à condition d'avoir cet outil) de passer par là fonction qui préserve le disque unité.

matheuxmatou @ 05-04-2018 à 16:15

dans ton post du 5 à 10:05 tu disais bien que la question était simplement (puisque "pas de quoi paniquer" !) de montrer f(D)D

carpediem @ 05-04-2018 à 10:45

lionel52 : tout le pb est là : que signifie le verbe préserver ?
le plus naïvement et naturellement et par expérience j'aurais évidemment opté pour la première ... (qui n'est bien sur pas contradictoire avec la seconde mais moins forte bien sur)