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Fonctions holomorphes - 3

Posté par
oggarr 09-05-19 à 16:19

Bonjour, je suis bloqué sur cet exercice, si vous pouvez m?aider.

1)  ***  UN exo = UN topic et réciproquement ***
  
2)  ***  UN exo = UN topic et réciproquement ***

3) Déterminer toutes les fonctions entières sur \mathbb{C} telles que : n{f}'(\frac{1}{n})=i  ,  n\ge 1


Pour la question 3) J?ai considéré f(z)=z^qh(z) et faire tendre n vers l?infini, et utilisé le principe des zéros isolés, mais ça ne marche pas.

*** message dupliqué ***

Posté par
oggarrre : Fonctions holomorphes 09-05-19 à 19:17


C'est vraiment l'énoncé de l'exercice, j'ai bien vérifié. Vous pensez qu'il y a une erreur dans l'énoncé de la question 2 ?

Pour la question 3) j'ai considéré la fonction f(z)=z^qh(z)

donc :   n{f}'(\frac{1}{n})=q\frac{1}{{{n}^{q-2}}}h(\frac{1}{n})+\frac{1}{{{n}^{q-1}}}{h}'(\frac{1}{n})=\frac{1}{{{n}^{q-2}}}(qh(\frac{1}{n})+\frac{1}{n}{h}'(\frac{1}{n}))=i

On fait tendre n vers l'infini donc h(\frac{1}{n}) tends vers h(0), le principe des zéros isolés confirme que h(0) est non nul, ceci est possible que si q=2 donc  h(0)=\frac{1}{2}i.

Ici on voit que q=2 et la fonction h(z)=\frac{1}{2}i  satisfait  la condition donc  f(z)=\frac{1}{2}i{{z}^{2}}.

Mais ce n'est pas rigoureux de dire que h(0)=\frac{1}{2}i  implique que h(z)=\frac{1}{2}i .

*** message déplacé ***

Posté par
Poncarguesre : Fonctions holomorphes 09-05-19 à 19:43

Poncargues @ 09-05-2019 à 18:35


Pour la 3) étudies f-iz^2/2


*** message déplacé ***

Posté par
oggarrre : Fonctions holomorphes 09-05-19 à 20:07

Poncargues Je ne comprends pas tes indications !

*** message déplacé ***

Posté par
Poncarguesre : Fonctions holomorphes - 3 10-05-19 à 11:49

Ben regarde la dérivée de la fonction que je te suggère d'étudier.
Tu vas t'apercevoir que l'ensemble de ses zeros (de la dérivée) à un point d'accumulation.


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