Bonjour Guillaume10.

Là où le bât blesse dans ton raisonnement, c'est que tu supposes, dans ton exemple, que 1 + 1 = 3 est une proposition "vraie". Bien ! pourquoi pas ! Mézalor, la vérité de cette proposition (en bleu) se situe dans quelle théorie mathématique ?

Guillaume10

tu confonds :

si 1+1=3 alors 1+1+1=3

qui est une proposition logique vraie

avec

1+1 = 3 DONC 1+1+1=43

qui est un raisonnement juste s'appuyant sur une hypothèse fausse ... (sert éventuellement à un raisonnement par l'absurde pour montrer que 1+1 ne vaut pas 3 !)

pour résumer, il ne faut pas confondre

si (1+1 = 3) alors ....

avec

si (1+1 = 3 est vrai) alors ....

Bonjour jsvdb,

Cette théorie mathématique n'existe pas donc c'est faux.

Cette implication n'a pas lieu puisque 1+1 n'est jamais egal à 3 mais c'est justement pour cela qu'elle est vraie.

Merci beaucoup !

l'implication "a bien lieu" !

et elle est vraie ...

et l'implication

1+1=3 e² < 0

est vraie aussi !

Mais si, mais si, on a bien l'implication que tu dis et elle est parfaitement correcte.
Si P est une relation et Q un théorème alors P Q est un théorème.

Ce qui est visiblement confirmé à priori par notre ami matheuxmatou que je salue

Poncargues
je me suis mal exprimé !
en deuxième ligne lire :
si (1+1=3) était vrai alors on aurait ...

la base d'un raisonnement par l'absurde...

Bonjour matheuxmatou,

Ok J'ai compris:

Dans l'implication on sous entend si (P est vrai), alors que dans un raisonnement on pense "si on a P", et on raisonne dessus en sous entendant qu'il est vrai pour la démonstration par l'absurde.

L'implication a" bien lieu" dans le sens que si P est faux, il n'y aucune raison de rentrer dans l'algorithme ? Et donc l'implication est vraie ? Dans ce cas ceci explique pourquoi n'importe quelle application qui commence par un truc faux est vrai comme 1+1=3==>e au carré <0

Merci bien !

Il me semble que :

Si est vrai et que est vraie, on déduit que  

Et c'est le principe d'explosion

Mais bon, c'est juste pour info, je suis plus trop à l'aise, on rentre dans la logique formelle.

Tout-à-fait @mousse42, ce que tu dis est exact.
Et tu me fais penser à ce passage de l'introduction à la théorie des ensembles :

en résumé, nous croyons que la mathématique est destinée à survivre, et qu'on ne verra jamais les parties essentielles de ce majestueux édifice s'écrouler du fait d'une contradiction soudain manifestée; nous ne prétendons pas que cette opinion repose sur autre chose que l'expérience. C'est peu, dirons certains. Mais voilà vingt-siècles que les mathématiques ont l'habitude de corriger leurs erreurs et d'en voir leur science enrichie, non appauvrie; cela leur donne le droit d'envisager l'avenir avec sérénité.

Gageons donc que 0 0 (ou encore 2 = 3) ne sera soudainement pas révélée comme vraie du fait des axiomes de la théorie des ensembles. Et très sincèrement, je me sens tranquille de ce côté ... en effet :

depuis 50 ans qu'on a formulé avec assez de précision les axiomes de cectte théorie et qu'on s'est appliqué à en tirer les conséquences dans les domaines les plus variés des mathématiques, on n'a jamais rencontré de contradiction, et on est fondé à espérer qu'il ne s'en produira jamais.
S'il en était autrement, c'est que la contradiction observée serait inhérente aux principes mêmes qu'on a mis à la base de Théorie des Ensembles; ceux-ci seraient donc à modifier, sans compromettre si possible les parties de la mathématique auxquelles on tient le plus.

Soit dit au passage, s'il venait à être démontré en Théorie des Ensembles que , alors subitement, par le fait même des axiomes de cette même théorie, toutes les relations deviendraient des théorèmes.

jsvdb j'ajoute que le principe d'explosion peut être très utile pour passer un examen.

ha ha ha ha, tous les coups sont permis une fois que tout explose, et en plus on peut pas te contredire, trop génial
Y'a juste que, ... heuuuu, bah faut montrer que .... babiole !

jsvdb

Jean Benabou expère bien qu'un mathématicien trouve un jour une contradiction dans la théorie des ensembles

En tout cas c'est ce que j'ai cru entendre.

Merci pour vos réponses !

Le principe d'explosion explique pourquoi le faux implique le vrai du coup.

Est-ce que l'implication au niveau formelle (où on déduit Q si on suppose P vrai avec un raisonnement) est la même que l'implication au niveau informel (du style non P ou Q) ? Et est-ce que les raisonnements déductifs sont en quelque sorte rien que des implications ?

Salut,

Par définition, en logique standard, la définition de (informelle) est (formelle).
La logique mathématique ne connaît que les symboles formels et .

(Bon ! elle connaît aussi et le petit "tau" () de Hilbert qui servent à construire les variables muettes et par suite le symbole de qui on déduit le symbole , mais ces deux symboles ne sont pas enseignés)

Quant à faire une comparaison entre un langage formelle et un langage informatique ... je ne suis pas sûr que cela tienne la route bien longtemps (mais ce n'est que mon point de vue).

Et non, le 0 0 n'a rien à voir avec le théorème (d'incomplétude) de Gödel.

Salut,

En supposant une proposition fausse, puisqu'on a le droit de se servir de toute affirmation vraie, en utilisant la négation de la proposition fausse qui est donc vraie, alors on peut utiliser le principe de contradiciton

Je connais le principe de non-contradiction en logique ou le principe de contradiction en droit mais pas le principe de contradiction en logique
Quel est donc ce principe ?

Salut jsvdb et merci pour ta réponse !

je voulais dire le principe d'explosion dans le message juste au-dessus.

Eh bien justement, peux-tu expliciter un peu le message en question car je ne le comprends pas

Le principe d'explosion dit que tout peut être démontré si on suppose deux assertions contradictoires.

Du coup j'ai pensé (c'est un raisonnement mais je sais pas si il est juste):

Si je suppose un truc faux du style l'assertion "1=2", et que je considère l'implication 1=2==>e<0 par exemple, alors comme 1=!2 en vrai, je peux utiliser dans mon implication 1=2 et 1=!2 et avec ça je peux démontrer n'importe quoi en utilisant le principe d'explosion.

Donc ça explique pourquoi le faux implique le vrai

Il faut bien comprendre une chose en logique standard mathématique, c'est que les notions de "faux" et "vrai" n'existent pas. Il n'y a seulement que des théories contradictoires ou non.

Je m'explique.

Pour construire une théorie mathématique, on a besoin de symboles et de règles pour définir ce que seront les "objets" de la théorie et d'autres règles pour monter des relations entre ces objets (voir à ce sujet mes fiches Termes et relations, Théorèmes et Théories logiques, je suis loin d'avoir fini !)

Tout part donc d'axiomes. Alors déjà, qu'est-ce-qui permet de dire que ces axiomes sont "vrais". Rien si ce n'est qu'on le décide ainsi.

C'est dans la fiche "théories logiques" qu'il est expliqué que si une théorie est contradictoire, alors toutes les relations de la théorie sont des théorèmes (c'est la propriété du début de la fiche)

Et c'est là que parler de "vrai" ou de "faux" n'a plus de sens.

En effet, si ma théorie n'est pas contradictoire, alors, par définition, il existe des relations qui ne sont pas des théorèmes et qui porteraient alors la qualification de "fausses".

Mais qu'il suffise d'introduire dans ladite théorie une relation et sa négation (autrement dit, on décrète qu'une certaine relation et sa négation seront "vraies") et toute la théorie ne comporte plus que des relations "vraies".

Par suite, une relation "fausse" dans la première théorie devient "vraie" dans la seconde.  Cette simple remarque montre que les notions de "vrai" et de "faux" en logique mathématique n'ont pas vraiment de sens.

Alors maintenant, tout l'enjeu de la logique mathématique va être de poser des axiomes qui permettront de développer la mathématique à l'infini sans jamais à avoir à tomber sur une contradiction à un moment quelconque : c'est ce que je rappelle dans mon post ici Implication  .

Il est clairement établi à ce jour en théorie des ensembles que (évidemment, sous réserve de savoir ce que sont les objets et et de savoir ce que signifie ). Mais si à un moment quelconque, soit on décide que "", soit on découvre que "" (par application des schémas de la théorie, bien entendu), alors c'est l'explosion et toutes les relations possibles et inimaginables qui peuvent écrites à l'aide des règles dont je parle ci-dessus, deviennent des théorèmes. Donc une relation et sa négation dans une théorie logique entraînent toutes les relations et leur négation "fausse" et "vraie" simultanément. Donc, là encore, "vrai" ... "faux" ... c'est très relatif.

Donc, à ce jour, compte tenu de l'avancement de développement de la théorie des ensemble, pour une relation donnée connue, alors, soit cette relation est un théorème soit c'est sa négation qui est un théorème, mais pas les deux.

Alors après, ce sont tous les problèmes d'indécidabilité qui peuvent être soulevés, mais ça, c'est un autre débat.

Merci beaucoup jsvdb ! je vais lire tous les articles pour approfondir et essayer de comprendre pourquoi ce que j'ai dit est faux

C'est sympa à étudier, faut juste bien prendre son temps car c'est un peu ardu.
Au besoin je suis à ta disposition par mail.

Bonsoir jsvdb et bonne année 2019

jsvdb @ 03-01-2019 à 20:58

Par définition, en logique standard, la définition de (informelle) est (formelle).
La logique mathématique ne connaît que les symboles formels et .

(Bon ! elle connaît aussi et le petit "tau" () de Hilbert qui servent à construire les variables muettes et par suite le symbole de qui on déduit le symbole , mais ces deux symboles ne sont pas enseignés)

Quant à faire une comparaison entre un langage formelle et un langage informatique ... je ne suis pas sûr que cela tienne la route bien longtemps (mais ce n'est que mon point de vue).

Et non, le 0 0 n'a rien à voir avec le théorème (d'incomplétude) de Gödel.

Pardon
La correspondance de Curry-Howard associe à chaque démonstration un programme qui termine.
La correspondance est donc entre théories mathématiques et programmes ( en langage informatique ).

Oui, JL Krivine a produit des études à ce sujet avec des comparaisons avec le Théorème de Gödel, mais j'y trouve peu d'intérêt (ce qui ne signifie pas qu'il n'y en ait pas; ce n'est que mon  point de vue, et je sais qu'il n'est pas objectif; peut-être aurais-je dû ne pas émettre cette réflexion).

Quant à , je dis simplement qu'en tant qu'il est la connexion des symboles formels , il est une définition et non une lettre de l'alphabet logique. Mais là, tout dépend de l'alphabet qu'on utilise. Dans le contexte des maths, je n'utilise, pour monter les mots (çàd les relations ou les termes), que les symboles formels ainsi que les lettres des alphabets classiques latin, grec et quelques lettres en hébreux. Mais après, je me trompe peut-être sur la définition de l'adjectif "formel" et ça, c'est bien possible.

Une citation du dernier cours de logique que j'ai suivi ( en 2016 )

Citation :
est utilisé comme abréviation de la formule .

Comme quoi, tout dépend bien de l'alphabet utilisé, du contexte et de quoi définit quoi  ... le tout est de rester cohérent dans ce que l'on définit