Bonjour

Un énoncé complet serait le bien venu. Qui sont et ? Et et ?

bonjour : )

Tu peux commencer par représenter le graphique de la fonction carrée, puis tu pourras bien donner des intervalles et tels que la fonction n'est pas surjective etc.

Mon énoncé est mis juste en haut



Ensuite on me demande,
Donner des ensembles de I et J tels que f soit injective mais pas surjective.
Donner des ensembles de I et J tels que f soit surjective mais pas injective.
Donner des ensembles de I et J tels que f ni injective ni bijective.
Donner des ensembles de I et J tels que f soit injective et bijective.

J'ai du mal m'exprimer au premier post désolé.

Re,

Je viens de faire le graphique de la fonction x², à partir de ce graphique je peux donc donner des ensembles (intervalles?), comment procéder?

Merci

A partir du graphique tu peux répondre à toutes les questions.

est injective sur : tout élément a au plus un antécédent dans par . (Dit autrement, elle ne prend jamais deux fois la même valeur.)
Il s'agit ici de jouer sur l'ensemble de départ.

est surjective de sur : tout élément a au moins un antécédent dans par .
Il s'agit ici de jouer sur l'ensemble d'arrivé.

Essaye de donner un intervalle où est injective : ?

C'est pourquoi je demandais des précisions... Ca se passe dans ? parce que je signale que le fonction définie sur par est bel et bien bijective!

est bien injective sur tu vois clairement qu'elle ne prend jamais deux fois la même valeur (elle est strictement décroissante sur cet intervalle).

Choisis maintenant pour qu'il n'y ait pas surjectivité.

Bonsoir,

Attention : A la suite de Camélia, que je salue au passage, la fonction définie sur et à valeurs dans est bien bijective. En revanche, la fonction définie sur et à valeurs dans n'est pas bijective, car non surjective !

On a bien sûr au minimum pour avoir une fonction.

Ok pour I, il faut que je donne J [-2,1] par exemple? Ou il ne faut pas qu'il y es les même valeurs dans les deux intervalles?

Salut,
L'intervalle [-2,1] ne convient pas car il faut, comme l'a écrit mdr-non que [0,16] soit dans J. En fait, il suffit de rajouter une valeur à J pour que la fonction ne soit pas surjective.

Regarde ton graphique.

Si tu prends , prend ses valeurs déjà dans . Donc cet intervalle est au moins contenue dans .

Il suffit maintenant de jouer avec cet intervalle, et effectivement on peut prendre par exemple pour avoir la non surjectivité.

n'est pas surjective car par exemple -2 n'a pas d'antécédent.

D'accord, mais je ne comprends pas pourquoi il faut avoir au minimum [0;16] pour J, c'estc une règle à appliquer tout le temps?

Disons que c'est la définition d'une fonction.

L'ensemble d'arrivé doit au moins contenir l'image de .

Si tu prends tu vois bien que c'est problématique, puisque par exemple .

f(2)=4?

J'ai f(2)=3 moi oups

Non j'ai rien dit je me suis trompé j'ai bien f(2)=4

Donc l'image doit être comprise dans l'intervalle, pour ça qu'on choisis [-2;16] plutôt que [-2;1] ou l'image de f(2) est en dehors

Concentre toi, ,
n'est pas une fonction, car par exemple : ,

Non, le n'est pas à considérer, j'avais corrigé dessous.

Il fallait lire .

Oui, désolé.
J'ai bien compris sur ce point la, qu'il faut donc prendre un intervalle de [0;16] pour pouvoir prendre tout les réels dans l'intervalle comme f(-4)=16 donc compris dans l'intervalle, c'est bien ça?

Merci de votre patience.

Ce que tu dis n'est pas clair.

*** *** ***
Une fonction est un triplet composé de :
a) un ensemble de départ (ou ensemble de définition) ;
b) un ensemble d'arrivée ;
c) un procédé (une relation binaire) qui à tout élément de l'ensemble de départ associe un unique élément de l'ensemble d'arrivée.

***
Formellement si tu le souhaites :
Soient et deux ensembles et une partie de . On dit que est une fonction de dans si :
.

*** ***
Tu sais que :
Pour tout , l'unique tel que est appelé L'image de par et est notée .
Pour tout , tout , s'il en existe (ce n'est pas obligatoire), tels que est appelé UN antécédent de par .

***
Tu dois maintenant sentir cette double condition pour dire que est une fonction :
1) Au départ : tout élément de doit posséder une et une seule image.
2) A l'arrivée : cette image doit être dans .

*** ***
Tu avais pris :

Ceci n'est pas une fonction car il y a des éléments de l'ensemble de départ qui n'ont pas leur image dans l'ensemble d'arrivée. Par exemple n'a pas son image dans l'ensemble d'arrivée .

Graphiquement tu le vois bien que , ce qui impose que l'ensemble d'arrivée () contienne AU MOINS l'intervalle .

*** *** ***
Ok ?

Bonsoir
pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué, hein ?

de IR+ dans IR, ta fonction est injective mais pas surjective
de IR dans IR+, elle est surjective mais pas injective
de IR dans IR, elle n'est ni injective ni surjective
de IR+ dans IR+, elle est bijective.

je te laisse le soin de le vérifier.

Mdr_non

Donc, si j'ai bien compris et que je m'exprime bien, si j'avais eu in intervalle I = [-3;0] j'aurais du avoir par défaut au moins J = [0;9] pour que tout les images soient comprises dans mon intervalle d'arrivée ?

Merci de ces explications et surtout de votre patience.

Pour répondre à Lafol, je ne vois pas pour injection et surjective et pour aucun des deux en quoi l'intervalle est bon :/
Pour les 2 permiers je suis ok

Sur le même modèle tu peux continuer, en proposant des intervalles , tels qu'on n'ait pas l'injectivité mais qu'on ait la surjectivité.

Quand tu auras réussis il n'y aura aucune difficulté à terminer.

de IR dans IR elle n'est pas surjective parce que par exemple -2 n'a pas d'antécédent. elle n'est pas non plus injective parce que par exemple 2 et -2 ont la même image (ou si tu préfères, 4 a strictement plus d'un antécédent)

de IR+ dans IR+, tout y de IR+ a exactement un antécédent, c'est-à-dire un réel positif x vérifiant x² = y (antécédent qu'on appelle communément racine de y ....) donc on a à la fois injectivité et surjectivité.

Pour la surjectivité mais pas l'injectivité, je peux dire que I = [0;16] et J=[-4;0]?

Euhm, non ça ne va pas parce que tu n'as même pas une fonction.

Reviens aux définitions d'une fonction injective, surjective...

Citation :
est injective sur : tout élément a au plus un antécédent dans par . (Dit autrement, elle ne prend jamais deux fois la même valeur.)
Il s'agit ici de jouer sur l'ensemble de départ.

est surjective de sur : tout élément a au moins un antécédent dans par .
Il s'agit ici de jouer sur l'ensemble d'arrivé.

Pour avoir injectivité : tu définis un intervalle sur l'axe des abscisses et tu observes (au niveau des ordonnées) si la fonction ne prend pas deux fois la même valeur .
Donc pour ne pas avoir injectivité, il suffit de prendre un intervalle sur l'axe des abscisses sur lequel la fonction prend au moins deux fois la même valeur.

Pour avoir surjectivité : tu définis un intervalle sur l'axe des ordonnées tel que tout élément de cet intervalle admet au moins un antécédent par la fonction.
Pour ne pas avoir surjectivité : tu définis un intervalle sur l'axe des ordonnées tel qu'au moins un élément de cet intervalle n'admet pas d'antécédent par la fonction.

Oui je vois, j'ai tenté je ne sais quoi mais ça fonctionne pas je confirme..

J'ai bien compris ( je pense ) :

Pour l'ensemble ou f est surjective mais pas injective on à donc comme tu as dit :
I = [-1;1] ( car il y a déjà deux antécédents donc pas injective ) et  J = [0;1] ? Ou [0;2] marche aussi?

Merci !

Oui j'ai posté sans rafraîchir je n'avais pas vu!
Donc pour vérifier que j'ai bien compris, j'aurais pu dire aussi I=[-2;2]?

Et J=[0;4] ?

Oui c'set sur mais autant prendre le I=[-1;1] et J[0;1] le plus simple/rapide je pense.

Oui.

Tu peux faire le cas non surjective, non injective (il suffit d'exploiter les précédentes études par exemple).
Puis bijective (ce devrait être le plus rapide).

Remarque que comme rien n'était imposé sur ou on aurait pu prendre :

et : injective et non surjective ;
et : non injective et surjective ;
et : non injective et non surjective ;
et : bijective.

On est resté simple et on a été rapide également.

On peut rester sur I=[0;1] et J=[0;1] pour bijective et pour ni l'un ni l'autre I=[-1;1] et J=[-1;1] ?

Oui.

Ah merci beaucoup!

Je t'en prie : ) Bonne continuation : )

Merci bien, pareillement !
Je risque de re poster sous peu de toute façon