Diviser 1 par une valeur (epsilon) très petite donne un résultat extrèmement grand (résultat positif si epsilon est positif, ou négatif si epsilon est négatif).
Donc l'écriture formelle 1/0 (un divisé par zéro) équivaut à (+ou-) l'infini.
.
Dans le contexte des opérations classiques, 0² = zéro puissance 2, signifie zéro multiplié par zéro, soit 0*0 qui est donc égal à 0.
Néanmoins, il faut se méfier de définitions non générales qui peuvent être données à des opétations spécifiques dans un domaine particulier des mathématiques. Parfois, on tire parti de ces spécificités pour faire apparaitre des soit-disant "paradoxes" dans des ouvrages de mathématiques "amusantes".
Un cas plus compliqué à interpréter est le formalisme zéro puissance zéro (0^0) pour lequel il est démontré que le résultat est égal à 1 danc certains contextes mathématiques bien définis et qui s'y prètent ( analyse combinatoire, entre autres...). Mais si le contexte n'est pas bien délimité et si le formalisme 0^0 n'est pas associé à une définition très précise de la signification de cette opération, 0^0 est une forme indéterminée, c'est à dire peut prendre une valeur quelconque positive, voire même nulle ou infinie, comme par exemple exp(zéro divisé par zéro).
Un papier intitulé "Zéro puissance zéro", qui donne des explications à ce sujet, doit paraitre dans le magazine QUADRATURE (pas encore d'information précise sur sa date de publication).

Cher JJa, merci.

Une des difficultés sur laquelle j'ai buté est la suivante :

1/1 =1 ; 2/2 = 1 ; 9/9 = 1 ; 128/128 = 1 ; n/n = 1 ergo 0/0 = 1

Cela n'est pas contradictoire avec le fait que 0 est considéré comme un nombre entier.

Par ailleurs, si l'on admet que la multiplication et la division n'ont pas la même "existence", mais la même "essence", puisque la multiplication par 0 est possible : 1 x 0 = 0, pourquoi pas la division ?

0 étant une quantité nulle, 1 : 0 en reviendrait à diviser 1 par rien, ce qui maintiendrai la quantité divisée dans son état primitif soit :

1/0 = 1 ; 2/0 = 2 ; 128/ 0 = 128 ; n / n = n ergo 0 / 0 = 0

Dans le premier cas, nous aurions 0² = 1 et dans le second 0² = 0.

Entendons nous, je n'argumente pas pour démontrer que j'ai raison, car il s'agit pour moi d'interrogations provenant de mon ignorance, et mes raisonnements sont vraisemblablement faux.

Je souhaiterais seulement réconcilier, si c'est possible, ma logique avec celle de l'univers mathématique. Si c'est possible.

Merci encore.

Bien à vous,
                              DMB

Savez-vous ce que veut dire "indétermination" ?
Vous avez écrit :
1/1 =1 ; 2/2 = 1 ; 9/9 = 1 ; 128/128 = 1 ; n/n = 1 ergo 0/0 = 1
Quelqu'un d'autre écrit :
(5*1)/1 = 5 ; (5*2)/2 = 5 ; (5*9)/9 = 5 ; (5*n)/n = 5 ergo (5*0)/0 = 5 mais (5*0) = 0 donc 0/0 = 5 .
Par conséquent on voit déjà que 0/0 = 1 et que 0/0 = 5.
Des comme celles là, on peut en sortir autant qu'on veut pour prouver que 0/0 = 135  ; ou 0/0 = -2 ; ou 0/0 = 3,291 ; ou 0/0 = pi ; etc.
et si vous voulez poursuivre dans les errements du même genre, puisque 0/0 = 5 et que 0/0 = 1, on a donc 5 = 1 ...!!!
Notez bien que c'est de cette façon (mais un peu mieux maquillée) que l'on voit apparaitre de temps en temps une soit-disant "démonstration" du paradoxe 1=2.

x/0 ne donne aucun résultat, tout simplement parce que si y était solution, alors ca signifierait par définition que 0*y=x ce qui est impossible dès que x est non nul.

Si x était nul, alors ce serait indéterminé parce qu'une infinité de y existerait.

Dans les deux cas, on ne peut pas donner du sens à une division par 0.

J'ajoute celle ci, qui n'est pas mal non plus :
0/1 =0 ; 0/2 = 0 ; 0/9 = 0 ; 0/128 = 0 ; 0/n = 0 ergo 0/0 = 0
et encore celle-ci, d'une altitude plus élevée (si l'on peut dire) :
1/0 = infini ; 2/0 = infini ; 9/0 = infini ; 128/0 = infini ; n/0 = infini ergo 0/0 = infini
Après moult réflexions sur tout cela, c'est un bon départ pour faire de l'A.N.S. dans un brillant avenir...
Sans rancure, on peut bien s'amuser un peu n'est-ce pas ?

Dans Bourbaki, désigne le nombre de fonctions d'un ensemble à p éléments dans un ensemble à n éléments. Ainsi .

0^0 est tout simplement indéterminé.
Il suffit de remarquer que (x,y)->x^y  converge vers 0 suivant une direction, et converge vers 1 suivant une autre. Ainsi, cette fonction n'est pas continue en 0, et il n'y a aucune raison de privilégier une valeur plus qu'une autre.

Certes avec la définition ce n'est pas défini.

Bien que leurs conclusions soient différentes (0^0 = 1 pour l'un, et 0^0 = indéterminé pour l'autre) stokastik et otto ont tous deux raison car ils se placent chacun dans un domaine différent pour les quels les définitions du formalisme 0^0 ne sont pas les mêmes. C'est ce que je voulais dire dans un post précédent :
Il est démontré que le formalisme zéro puissance zéro (0^0) est égal à 1 dans certains contextes mathématiques bien définis et qui s'y prètent (par exemple, définition de 0^0 par les ensemblistes). Mais si le contexte n'est pas bien délimité et si le formalisme 0^0 n'est pas associé à une définition très précise de la signification de cette opération, 0^0 est une forme indéterminée (par exemple le point de vue des topologistes). Tout ceci est expliqué dans l'article déjà cité : "Zéro puissance zéro", à paraitre dans le magazine QUADRATURE.

Bonjour à tous et merci à tous,
Je ne suis pas sûr d'avoir réussi à rattraper la suite des réponses à ma questio.
Je souligne que je ne prétend pas avoir trouvé un paradoxe extraordinaire, mais que je me borne à vous demander d'éclairer mon ignorance.
Jja a parfaitement raison, je ne connais pas la signification exacte d'indétermination en mathématique, ce qui accroit mes interrogations.
Cependant, je remarque que vos observations sont à la fois cohérentes et contradictoires, et que zéro paraît poser des questions à un peu tout le monde.
J'avais cru que zéro était un nombre comme les autres, ce que certains paraissent soutenir.
J'en suis à présent à me demander si zéro n'est pas un nombre, mais un signe, comme +, - ou =, puisqu'il ne peut servir dans aucune opération :
1 + 0 = 1 ; 1 - 0 = 1 ; 1 x 0 = 0 ; 1 / 0 = impossible ou infini (ce qui du point de vue philosophique peut être équivalent).
C'est ce que paraît indiquer sa fonction en arithmétique où le fait de le placer à la droite d'un nombre multiplie ce nombre par celui qui est égal au nombre de chiffres dans le système considéré (deux dans la numérotation binaire et 10 dans le système décimal, par exemple).
J'ai lu quelque part (je n'ai pas la citation sous la main) que sur l'axe des nombres imaginaires, zéro étant la position où cet axe recoupe celui des nombres réels n'est pas un nombre imaginaire, mais réel.
Question idiote : zéro n'est-il pas au contraire le nombre imaginaire par excellence, à moins qu'il ne soit ni réel, ni imaginaire, puisque il représente ce qui n'est pas ?
Pardonnez ses divagations à un vieil homme qui sur la fin de sa vie se demande s'il n'aurait pas eu plus de réponses à ses questions existentielles s'il avait fait des mathématiques.
Bien à vous tous,
                                DMB

*** message déplacé ***

5    3        ( 3   -3   /    )     0   0   /    
5    3    x   (-5    5   /  0 ) =   0   0   /   0   =  1     0  /  0 = 1  
je m'appelle gregory ***
  

(ln x)' = ( (x^0)/0 )' ) = ( x^(0-1))x(0/0=1)=1/x

0x1=0 0/0=1  
(0/0=1)+(0/0=1)=(0/0=1) algebre de bool  
  

n ! = (somme de 0 à N )/0  
0! = 0/0 =1  
ce qui explique cette bizarie de 0 ! = 1  
(x^n)'= morso du ln x fractalité de X x X avec absortion d'un X pour le donne à l'unité rotasion  
     =       n            x     (x)'            x     X^n-1  x   X/0

      
je vous rassure la division par zéro est impossible
mais l'impossible divizé par l'impossible = le possible

c'est exactement le complementaire de i carré = -1
qui lui est l'impossible fois l'impossible donne le possible


(x^0)/O=ln x    c'est de puissance paire donc grafic paire
ln x existe à goche
un sur x est la dérivé de ln x et elle existe à goche donc ln x existe ào goche
ln-1+ln-1=2 ln de -1= ln( (-1)^2)=ln 1 = 0
2 ln de -1 = 0
ln -1 = 0/2 =0

... fo arrêter la moquette

j'ai découvert que un sur zéro et i carré egal  moins
c'est une variante ce sont les deux quantité caotic
vous croyez que c'est des fote d'ortografe mais ce n'en ai pas
i carré  fait certaine chose et un sur zéro en fait d'autre

si tu est sur 1/x   en 0

tu as

1/0=(0+1)/0=0/0+1/0=(0+0)/0+1/0=0/0+0/0+1/0 etc etc
comme 0/0=1 1/0peut etre egal à lui meme ou à lui mem plus 1
ou lui mem plus un  plus un
fastosh
1/0=1/0+R
preuve
0x0=0
0x1=0
0x2=0
0x3=0
0x4=0
0x5=0
0x6=0
0x7=0
0xR=0
   R=0/0
mais ton hotmail si tu veux que je t'envoie des truc encore plu poussé

au faite un sur zéro et racin carré de moins un  
sont les deux cantité caotic de l'algebre caotic

0xX=7
X=7/0
0x(7/0)=7
(0/0=1)x7=7

j'appelle une quantité quelquonce sur zéro ca un complix
qui ressemble un complex

regarde la formule de la moyenne
elle est somme des element divizé par nb d'element
mais si le nb d'element est zéro alors on a une divizion par zéro
mais aucun element divizé par zéro pose un probleme car il n'y aucun element à divizé par zéro

dans la relativité d'einstein il y a un divizion par zéro selon les dir de certain

soi pa étonné je sui bouré de talent sur la division par zéro

si tu conné les matrices fait idiotement l'inverse de l'inverse
de 5  3       tu vera une surprise inatendu
   5  3

sa fait

   3  -3
   -5  5
    /  /
     0
a réinverswer

5  3
5  3
/  /
  0
/  / =1
  0

donc 0/0=1

ce nouvo cor des complix est fantastic
si tu reflechie bien
0xX=7 été dit impossible
n oubli je sui supersympatosh de chez sympatosh
car X reel ne fonxionné pas
mais X=7/0  on voyais quand meme sans des étude superieur que c'été pa un réél
mais pluto autre chose du genre un complix

une pomme +une pomme = deux pomme
donc 1/0+1/0=2/0
peu importe que ce soit une pomme ou autre chose les math fonxionne toujour

pour les racine n ieme n est le cofacteur des racine
n/0 a pour cofacteur n
on voi que pour les deux il y a des cofacteur
etrange similitude non?

x=0
x=0/y
x/0=y
le coefficient directeur d'une droite verticale
est 1/0

la dim 3 c'est l'espace
la dim 2 c'est le plan
la dim 1 c'est la droite
la dim 0 c'est le point
les dimention à virgule existe à cause de la fractalité  
qui correspond à i carré = moins 1
donc je soupsonne l'existe de dimention negativ
dont la materialisation dont etre normalement les vortex
comme dans stargate

5  3
5  3   est inversible à cause de mon nouvo cor

si tu inverse le temps la matrice est inversibl
donc divizé par zéro revient à inversé  le temp

je batise mon nouvo cor les complix parce qu'il son complix

Un ban, un ban! :

0x1=0
0x2=0
0x3=0
0x4=0
0x5=0
0xR=0
  R=0/0
les etre qui construise les dimention ecrivent dan s leur programme
un tor ouvert qui s'écrit 0/0
à partir de la tu peux construire otant de dimension que tu veux

j'avait rien fait de mal et j'ai été banni san raizon
vive la démocratie hein?

D'accord, ton banissement est un peu fort, mais relis toi : soit tu réécris bien tout et explique le mieux du monde, soit tu recherches tes erreurs ou un contre exemple, enfin poster de cette manière sur un forum tes idées c'est nul (et je parle d'experience !!!!)

Ce n'est pas une question que c'est mal écrit ou pas. Cela par exemple :

bonjour
0/0 prend une valeur selon le contexte; il s'agit en général d'une limite
si expression 1 et expression 2 valent toutes deux zéro pour une même valeur de x, alors 0/0 est la limite de (expression 1)/(expression 2) quand x approche de cette valeur

dans l'intervalle [0; 1], x^x est décroissante et a pour limite 1 quand x s'approche de zéro

quand à -2, on pourrait proposer qu'il vaut -2 : c'est la limite de -2^(n+1)/(2n+1) quand n, étant un nombre naturel, tend vers l'infini

les quantité +-k sont rejeté car elle gene
mais c'est réalité

moi je sais que division par zéro corespond à une quantité encore plu bizar
c'est foi divizé de k donc /xk
c'est normal que personne n'y piges rien ca provient tout droit du cao
et dans le cao il se passe des chose trés caotic personne ne pe me contredire sur ce point la ou sinon si on me contredi sur ca sa reviendrai à dire il ne se passe rien de caotic dans le cao

Quand tu comprendras que les mathématiques sont fondées sur des axiomes et qu'en mathématiques si 0=1 alors tout est vrai et tout est faux tu arrêteras ton délire.

Arrêtons de faire cahin-caha avec la chaos, okay?

le chaos! *

Il est complétement allumé ce mec

Oui!
Il a l'air sérieux, en plus!!

Peut-être est-ce Malcolm déguisé??
Je crois avoir reconnu certaines répliques!


^{Salut fusionfroide au fait!}

j'ai troi preuve que ln x existe à goche
et en plus les troi preuve dise que ln -1=0
ln ab = ln a + ln b
seul un truc complix peut aboutir à ce resulta
comme dans l'algebre de bool on pass de la multiplication à l'addition
il y a une évidence c'est qu'à chac foi qu'il y a une division par zéro
il y a des ensembles c'est bizar non?

dit moi combien de gens sont mort parceque les complix existe
je rappelle qu'un complix c'est une quantité divizé par zéro
personne n'est mort de la création des complix
les complix existe depui qu'on saqit la division et que le zéro à été créé
c'est trés simple un sur zéro sur zéro égal un
l'impossible divisé par l'impossible donne le possible
tout comme i foi i egal moins un
donc l'impossible foi l'impossible = le possible
il y a deux passage d'un monde possible à un monde impossible
et d'un monde impossible à un monde possible
dans ta tete il y a toute un algebre du monde impossible sinon tu sorait pas ce qui est possible ou non
dans ta tete il y a une parti de ton cervo peu importe quel soi psécialisé ou non
qui traite tous ce qui est impossible
si tu travaille sur un buro
tu sais que c'est impossible d'écrire du texte par la pensée
on est tou les deux d'accor que c'est impossible
tout aussi impossible que la division par zéro
on est tout les deux toujour d'accor mais dans l'univers
il y a une loi de mouvement perpetuel qui fait que tout bouge
et un jour peut etre que le lecteur de pensée existera
et la sela ne sera plu impossible d'ecrire par la penséer
des chercheur y travaille
il n'est pas dit qu'un jour
et ben le division par zéro sera possible
mais cela reste possible
pourquoi théorie des nombre et pas théoreme des nombre
parce qu'on sait que tous va bouger
la théorie permet la flexibilité
est ce que la division par zéro = impossible
est un théoreme ou une théorie
aucun de mes prof est trés pointu sur le vocabulaire
pour moi la division par zéro = impossible c'est une théorie
parce que personne n'a ni jamais di que c'été un téoréme ou ni une théorie
est ce que c'est un lemme ou un axiome
quel sont les preuve de l'impossibilité de la division par zéro
pour moi les preuve sont mis au placard comme ca on s'embete pas à prouver ce qu'on dit c'est bien connu en math on demontre toujour ce qu'on dit
aucun prof ne s'éest enbété à reflechir
il y en a un qui a dit c'est impossible alors tous les autre ont imité sans trop comprendre le pourquoi du comment

C'est vrai qu'il a l'air convaincu de ce qu'il dit...

Nous avons un noueau poète des mathématiques en tous cas, semble-t-il...
Un nouveau forum s'impose-t-il? ^^
Je crains que notre ami s'y retrouve bien seul...

Au moins ça permet de sortir quelques smileys

comme celui-ci

Oui!

J'avais aussi explosé de rire à la lecture de ce passage !!
Au moins notre ami est cohérnt, c'est déjà ça!

Ou encore celui-là :

Voire même: ^^

malgré mes fote d'ortografe qui n'en sont pas
car tout bouge
allez dison qu'au tout debu de la vi les peti organisme dise c'est impossible qu'un cellule ce colle à une autre cellule
alors nous nous existerion pa
car elle aurai defini comme impossible
peut etre que la division par zéro correspond au dimension negative
qui sont evidament tré complix
personne n'en aq jamais ni ne sait comment on fait pour rentré dedan
les dimension nagative existe mais hypergigacomplix
tout les calcul deviennent impossible sans condirer les dimention nagative
tu est bien d'accor que troi dim c'est l'espace
deux dim c'est le plan
une dim c'est la droite
zéro dim c'est le point
l'espace est composé de plan superposé
le plan est compozé de droite superpozé
la droite est compozé de poin superpozé
mais de quoi est composé un point
il est peut etre composé de corde ou supercorde ou wimps
j'ai pas fait bocou d'étude en physique
il doi y avoir un truc qui compose les point
comme on dit quel est le plu petit element elementaire
de l'univers
il fo un zoom immense pour voir qu'est ce qui compose un  point
pui meme si tu reflechie bien un point c'est du vide
c'est virtuel ca n'existe que dans notre imagination
rien ne defini le point un physique
un point n'est pas un atome
qu'est ce qu'un point
pour moi un point est une idée abstraite

Je crois que le monsieur cherche vraiment le ban, sinon pourquoi tant d'acharnement... ?

Je n'est pas suivi le fil du topic, donc j'ai relu :

question 1
j'ai un point et je veux savoir combien il mesur
dit moi quelsera la tay du cube qui l'entoure
bonn chance pour repondre parce qu'est impossible que tu y reponde

question 2
diviser par zéro = impossible
est 'il une théorie ,un lemme ,un theoreme ou un axiome
sans rigueur dans ce qu'on dit on est pas crédible
les prof ont aucune rigueur donc il ne sont pas crédible

vas y répond auh deux question sans te dérober

Il est comme Gödel, il est devenu fou, je fais une petite note historique au cas où

Godel, decouvrit beaucoup de chose en mathématiques en particulier l'etude de la généralisation et les axiomatisations, dans ses recherches il devint fou vers la fin de sa vie, et penser avoir trouver des equations démontrant l'existence de Dieu...

Lui c'est pareil hormis qu'il est devenu fou en ayant rien foutu

Bah moi j'en ai plusieurs mais j'ai po le courage de les mettre, de peur que tu sois largués

Je me demande il est en quelle classe.

Mais à mon avis, il doit etre en etat de psychose, j'en ai une je sais ce que c'est.

Mais quand on en a une on ne cherche pas à MONTRER des choses incohérente.

S'il n'a pas de psychose , il est tout simplement (je censure).

Ou sinon il se fout de nous.

Ou alors il vient du fin fond du cosmos au alentours de Vega ou une connerie du genre ..

(dis moi Venousto, es tu hostile ?)

venousto penses-tu que est dénombrable ?