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Niveau Licence Maths 1e ann
Légitimité des démonstration par itération d'un procédé
Posté par SkyMtn
Bonjour, j'aimerais savoir si on peut formaliser le concept d'algorithme pour les preuves mathématiques : par exemple pour valider l'algorithme du pgcd d'Euclide, ou le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt ; dans un cas général. Dans certains cas, on peut trouver une sorte "d'invariant" dans l'algorithme qui permet de faire une preuve par récurrence (en validant le procédé à l'étape n, et on prouve l'étape n+1) mais ça n'est pas toujours possible. A partir de là, est-il légitime de considérer les procédés "à réitérer" comme des preuves mathématiques toutes aussi valables que celles fournies par les règles d'inférence classiques ?
Je vois une difficulté majeure pour "accepter" leur usage : peut-on être certain que le procédé va se terminer et donner le résultat souhaité (aussi obscure que soit la notion de "terminer" -- sûrement indéfinissable...) ?
Merci par avance pour vos réponses :/
Bonjour,
Les algorithmes ne sont pas bien différents des preuves, le problème c'est d'avoir un algorithme convenable (l'algorithmique c'est quand même une discipline à part entière), certaines preuves utilisent aussi des raisonnements itératifs qui méritent d'être justifiés.
Tu devrais peut-être regarder la correspondance de curry-howard et la théorie des types plus généralement. Tu as déjà fais de Coq ?
Et sinon si ta question c'est peut-on utiliser des raisonnements par répétition à l'infini la réponse est bien évidemment non (il faut bien se raccrocher aux axiomes/résultats établis à un moment).
Bonsoir,
Mais on est certain que le procédé va se terminer dans les preuves mathématiques. Pour l'algorithme d'Euclide, à chaque itération le reste est strictement décroissant vers 0, pour le procédé d'orthonormalisation, on traite la base de vecteurs en dimension finie. Je ne sais pas si l'interrogation est celle-là.