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nombres complexe.
Bonjour
On considéré l équation E ,Z^3+9iZ^2+(12i-22)Z-12i-36=0
1/montrer que E admet une racine réel et une racine imaginaire pure Z1 et Z2
En déduire l autre racine Z3
2/dans le plan complexe muni d un repéré orthonimal (O,u,v) ,on considéré A(-2), B(-3i) et C(2+6i).
a/donner l écriture algébrique puis l écriture trigonométrique.
...
b/déduire la nature du triangle ABC.
3/on pose Z=
a/montrer que Z=
b/écrire sous forme algébrique et sous forme trigonométrique..
c/en déduire les valeurs exactes de cos 7pi/12 et sin 7pi/12
d/déterminer Z^6 puis résoudre dans C
Z^3=Z^6
5/résoudre dans C:
1+iZ-Z^2-iZ^3+Z^4=0
On pose .
Z'=
a/interpréter géométriquement c|z'| et arg Z'
b/déterminer puis construire l ensemble des points M(3) tels que
i/|Z'|=2.
ii/arg Z'=pi/2(2pi)
Réponse
Question 1
On suppose un nombre réel x dans la,solution E.remplaçons,x par Z.
X^3+9iX^2+(12i-22)x-12i-36=0
Je suis bloqué
[/bleu][/vert]
Salut
x^3-22x-36+9ix^2+12xi-12i=0
Un. Complexe est nul si et seulement si
X^3-22x-36=0
9ix^2+12xi-12i=0
Calculons le discriminant de l équation 2
∆=(12i)^2-4*9i*(-12i)
∆=-576
Je trouve que le discriminant est negatif
moussolony : un peu de sérieux quand même ...
∆=16-4*3*(-4) : avec ça tu trouves 8 ?
Et par pitié, pas de "c'est ma calculatrice" ...
Bonsoir
C est plutôt.
√∆=8
Voici ce que j ai trouvé.
Z1=-2 et Z2=2/3
Maintenant je ne sais pas comment trouver Z3
Mais tu n'as pas z1 ni z2 !
Pour l'instant, tu cherches la solution réelle.
Tu as trouvé deux valeurs possibles, qui sont -2 et 2/3.
A toi de déterminer la bonne...
Puis tu prends le même principe pour chercher la solution imaginaire pure...
On verra ensuite pour z3 !
non, tu mélanges les deux recherches.
résumons, tu as cherché d'abord s'il y avait une solution réelle.
tu as trouvé que Z = -2 ou 2/3 reste à vérifier si ces valeurs sont solutions de l'équation.
effectivement si Z=-2 et qu'on remplace on trouve bien 0
mais si Z = 2/3 et qu'on remplace, on ne trouve pas 0 donc on élimine la solution.
donc on a trouvé la solution réelle Z = -2. Note que ça veut dire qu'on pourra factoriser par (Z+2) ça servira sûrement après.
Maintenant tu dois chercher une solution imaginaire pure. le plus simple est de poser Z = ix ,de remplacer dans l'équation et trouver x.
OK
Z=ix
i^3x^3+9i^2x^2+(12i-22)ix-12i-36=0
-x^3i-9x^2-12x-22ix-12i-36=0
-9x^2-12x-36=0
-x^3i-22ix-12i=0
J ai calculé le discriminant de l équation 2.je trouve une valeur négatif
Posons Z=ix
-x^3-9ix^2-12x-22ix-12i-36=0
-x^3i-9ix^2-22ix-12i=0
-12x-36=0
-12x=36
x=-3
Vérifier si la valeur est solution de l équation.
-12*(-3)-36=0
Donc on a trouvé la solution imaginaire pure Z2=-3i
Posons Z=ix
-x^3-9ix^2-12x-22ix-12i-36=0
-x^3i-9ix^2-22ix-12i=0 (1) non il ne doit plus y a voir de i : as-tu lu ce qu'on t'a écrit plus ?
-12x-36=0 (2)
-12x=36
x=-3
Vérifier si la valeur est solution de l équation.
-12*(-3)-36=0 ce n'est pas une vérification : x vérifie les équation (1) et (2) ... alors prendre l'équation (2) pour vérifier la solution qu'on a trouvé avec l'équation (2) n'a aucun intérêt d'autant plus à ce niveau de simplicité ...
Donc on a trouvé la solution imaginaire pure Z2=-3i
Comment trouver Z3
tu as donc 2 racines -2 et -3i, effectivement tu peux trouver la troisième en factorisant le polynôme, tu peux aussi en utilisant la somme ou le produit des racines.
(par exemple le produit des racines d'un polynôme ax3+bx²+cx+d c'est -d/a au besoin redémontre le, ou fais le directement sur l'exemple numérique de ton exercice (ce qui revient à factoriser d'ailleurs).
il y a belle lurette que somme et produit des racines d'un trinome ne sont plus au programme de lycée alors pour un polynome de degré 3 ...
par contre le savoir-faire de factoriser connaissant des racines est explicitement au programme de première avec la réforme et (sans être explicitement dans l'ancien programme) pratiquée régulièrement depuis la seconde ...
c'est bien de faire des efforts et des exercices mais il faut en retirer quelque chose ...
voir par exemple 
nombres complexes oùtu retrouves la même idée ...
on te propose de trouver deux racines particulières pour un polynome de degré 3
et si tu avait eu un polynome de degré comment aurais-tu conclus ?
je te suggère donc de réviser tes cours de première (et seconde) sur le second degré ...
sans réflexion pour faire une synthèse de ce qui a été fait rien ne restera ...
ainsi par exemple ici nombres complexes ta dernière réponse est sans intérêt si il n'y a pas de lien avec la question en cours et l'exercice n'a pas été poursuivi ...
je viens donc de répondre à fonction exponentielle
il y a belle lurette que somme et produit des racines d'un trinome ne sont plus au programme de lycée alors pour un polynome de degré 3 ...
ici il s'agit juste de dire que si
ax3+bx²+cx+d = a(x-x0)(x-x1)(x-x2)
et que l'on fait x=0, ça donne d = -ax0x1x2
rien de bien difficile.
Glapion : si tu enseignes alors tu sais très certainement que la notion de "bien difficile" est toute relative ... et je n'en dirai pas plus sur l'état de notre EN en rapport avec cette notion
OK
Z^3+9iZ^2+(12i-22)Z-12i-36=(Z-Zo)(Z+2)(Z+3i)
Posons Z=0
-12i-36=-6iZo
Zo=2+(6)/(i)
Zo=2+(-6i)/i^2
Zo=2+6i
Mais si on utilisait cette méthode
Z^3+9iZ^2+(12i-22)Z-12i-36=(Z+2)(z^2+(9i-2)Z-6i-12=0
Comment on allait trouver Zo
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