Hello!

Commence en dimension 1.
Je prends l'espace vectoriel simple R et l'application suivante

N(x) = 2|x|

Tu peux démontrer que N est une norme sur R?
Démontrer que N est équivalente à la norme usuelle sur R (qui vaut |x|)
Peux tu me dire quelle est la boule unité ouverte, et fermée pour N?

Je pose H = [-1,0[ U [1,3] U {7} = H1 U H2 U H3

Tu peux me dire si H1,H2,H3 puis enfin H sont ouverts ? Fermés?
Donne moi enfin l'adhérence de tous ces ensembles

Bonjour à vous deux,
Niang07, tu as renseigné "autre licence dans ton profil" et tu postes en "licence maths 2e/3e année" ce qui n'est pas du tout la même chose
Peux-tu préciser ton véritable niveau s'il te plaît, afin que l'aide apportée soit la plus adaptée possible ?
merci

Bonjour .
J'ai du me mélanger en renseignant mon niveau d'étude .
Je suis en deuxième année d'étude ( L2) de section Mathématique-Physique-chimie-informatique ; mais je tend vers plus l'informatique .
Comme je l'avais dit j'ai eu 4 ans d'absence en université
2 ans où je faisais une formation et l'autre pour raison personnelle .
Donc question niveau j'en ai beaucoup perdu .
Donc même s'il faut renforcer ma base ça me pose pas de problème ; mon objectif c'est de valider cette matière qui me tourmente vraiment .
Merci

Bonjour Lionel52
1) je crois qu'il faut utiliser N(∆x) = |∆| N(x) ; donc déjà N (2|x|)=|2|N(|x|) .
N(x+y) <= N(x)+N(y) ; N(2|x+y|)=N(|2x+2y|) là je sais quoi faire.
|X| >= 0 , 2>0 donc N = 2|x| >= 0 .
Le reste me pose problème .


2) H1 ou est ouvert puisque l'intervalle est ouvert à droite ; H2 un ferme , H3 un ferme singleton ; pour H je dirais un ferme car c'est un intervalle [ -1 , 7 ] \ { 4 ,5, 6}
Pour les adhérents je veux pas dire du n'importe quoi car sa définition me pose problème .
Est ce que faire sur une feuille et prendre la photo et la mettre est autorisé sur ce forum ? C'est plus facile que de saisir sur téléphone ou ordi

Bonjour,

pour répondre aux questions de lionel52, il faut savoir ce qu'est une norme. Je crois que tu t'es un peu embrouillé sur l'homogénéité ( ).

En particulier, comme lionel a posé N(x) = 2|x|, on a N(2|x+y|) = 2|(2|x+y|)| ; attention à la définition. Il faut aussi savoir  les propriétés de la valeur absolue pour répondre aux questions.

Ensuite, peux-tu répondre à ces autres questions avant de continuer l'exercice de lionel :

- qu'est-ce qu'un ouvert ?
- qu'est-ce qu'un fermé ?

(pour la topologie induite par la norme).

Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci

Bonsoir desole du temps que je mets à repondre , j'ai de la connexion tout le temps donc difficile de repondre aussi vite . Kernelpianic , voila j'arrive pas a assimuler les defintions que j'ai sur les ouverts  et fermes surtout de toute cette leçon ; je veux pad me base sur ce que j'ai comme notion de cette leçon , mais je veux des definition tres simples à comprendre sans dire de mensonge sur le prof qui nous donne cette UE mais c'est une personne qui tient pas compte du tout de la pedagogie et du fait que nous ses etudiant on a un niveau moyen .
Donc meme s'il faut que je revois ma table de multiplication je suis pres .

Je veux pas me ruduculiser mais pour moi un ouvert ( resp un ferme ) c'est un intervalle ouvert ( resp un ferme ).
Exemple :
Ouvert : x>9 ; -5<y > 58 ; ]-9 ; 77 [ ;
Fermer : p <= 4 ; [0 ; 1] ; ] 3 ; 90 ] ; -11 <= j => 100 .
Merci pour votre aide

Oulà t'as des problèmes avec les inégalités
Ca s'écrit pas : -5<y > 58 et -11 <= j => 100 .


Un intervalle ouvert est un ouvert
Un intervalle fermé est un fermé on est ok

Mais un ouvert n'est pas forcément un intervalle ouvert, même chose pour les fermés

[0,1] est bien un intervalle fermé. ]0,1[ un intervalle ouvert. ]0,1] n'est ni l'un ni l'autre.

Les intervalles ouverts sont de la forme ]a,b[
Les intervalles fermés de la forme [a,b]

(ps : pour les ilematheurs je sais qu'a,b pourraient être infinis mais on s'en fout, ici a et b sont réels pour simplifier)

Maintenant un ouvert O c'est un ensemble qui vérifie la propriété suivante : Si x est dans O, tu arrives à "faire rentrer un intervalle ouvert dans O" (donc de la forme ]a,b[)  autour de x.

Par exemple O = ]0,1[ U ]2020,2021[ est un ouvert, si tu prends n'importe quel point (par exemple x = 2020.99999) je peux trouver un intervalle ouvert qui comprend x et contenu dans O (par exemple ]2020.5, 2020.999999999999[)

Tu aurais pu voir la chose autrement : Une union d'ouverts est toujours un ouvert donc comme O est réunion de deux intervalles ouverts c'est un ouvert

Peux-tu m'expliquer pourquoi ]1,2] n'est pas un ouvert du coup?

Bonsoir .
J'ai bien commis une erreur .
La bonne forme est : -5<y<58 et -11<= j <=100 .
À travers votre explication je peux faire :
Soit x = 1.70 € ]1.50;1.90[ € ]1;2] .
je peux dire que ]1;2] est un ouvert mais vu que 2 est dans l'intervalle si je prends x=2 , je ne peux avoir d'intervalle ouvert qui contient 2 et qui soit ouvert .
Donc  au final ]1;2] n'est pas un ouvert .
Je sais que ]X ; Y] est un intervalle semi-ouvert ou semi-fermer .
Merci de votre aide je pense avoir appris un peu ; continuons Svp .

Mes salutations ça fait pas mal de temps que j'ai pas d'aide .
Je suis en attente .
Merci

Rebonjour Niang07, et désolé de t'avoir fait attendre si longtemps.

Pour une fiche sur les normes : Normes sur un K-espace vectoriel

Pour une fiche sur la topologie déduite d'une norme : Notions de base de la topologie dans un espace vectoriel normé

Il vaut mieux peut-être refaire tous ces exercices au propre après avoir lu les définitions. Je reprends le message de lionel et je vais te guider un peu plus en écrivant des étapes qui ne sont en réalité que les points à vérifier des définitions ; je rajoute une partie pour t'aider.

PARTIE I

Soit (E, N) un espace vectoriel normé. La topologie est induite par la norme.

1) Rappeler la définition d'ouvert, de fermé et d'adhérence d'une partie.
2) Montrer qu'une réunion quelconque d'ouverts est un ouvert.
3) Montrer qu'une intersection finie d'ouverts est un ouvert.
4) Montrer qu'une intersection quelconque de fermés est un fermé.
5) Montrer qu'une réunion finie de fermés est un fermé.

PARTIE II

Je prends l'espace vectoriel simple R et l'application suivante

N(x) = 2|x|

1) Tu peux démontrer que N est une norme sur R?
      i)   Montrer que N est une application à valeurs dans R+
      ii)  Montrer que N(x) = 0 est équivalent à x = 0
      iii) Montrer que N(x+y) <= N(x) + N(y)
      iv) Montrer que pour tout scalaire a dans R et pour tout vecteur x : N(ax) = |a| N(x)

2) Démontrer que N est équivalente à la norme usuelle sur R (qui vaut |x|)
     i) Montrer qu'il existe deux scalaires a et b strictement positif tels que pour tout  vecteur x : a|x| <= N(x)  <= b|x|

3) Peux tu me dire quelle est la boule unité ouverte, et fermée pour N?

4) Je pose H = [-1,0[ U [1,3] U {7} = H1 U H2 U H3
      i) Tu peux me dire si H1,H2,H3 puis enfin H sont ouverts ou fermés pour la norme N ?

5) Donne moi enfin l'adhérence de tous ces ensembles

Bonjour

Vous pouvez lire cette discussion complète sur ce genre de choses. Topolgie:intherieur et adhérence(encore)