Bonjour Ramanujan.
Ramanujan @ 16-07-2018 à 14:28
j'ai toujours pas compris : on a le droit de multiplier par un nombre positif sans changer le signe de la relation d'ordre totale ?
Un ordre, qu'il soit total ou non, est un ordre.
Et pour être validement utilisé dans un corps, il doit être compatible avec la multiplication, c'est-à-dire vérifier que :
si a,b,c sont trois éléments avec c > 0 alors
Application à
: soit
une relation d'ordre total sur
qui soit compatible avec ses opérations de corps.
Si ta relation veut que l'on ait
, cela ne posera pas de soucis, il faut continuer la chaîne :
On voit alors que 1 et -1 sont tous les deux
strictement positifs (sauf à admettre que 1 = 0, ce qui n'est pas possible dans
qui est un corps).
Il vient donc :
d'où
ce qui est absurde.
Donc on reprend la chaîne avec
et on obtient :
Et on tombe sur la même absurdité.
Conclusion : il n'existe pas d'ordre total sur
, compatible avec les oprations de corps.