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Posté par
lotus18
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 15:44

Le " puisque " appartenait à la citation

Posté par
mousse42
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 15:47

Citation :
\forall \varepsilon>0, \exists \eta>0, \textcolor{blue}{\forall x\in \mathbb{R}},   |f(x)-f(2)|<\varepsilon


Car ça n'a rien à voir avec ce que l'on a montré. (on a x_0=2 dans notre cas, qui n'a pas été remplacé partout)

Tu peux éventuellement perdre ton temps à vérifier ce que ça signifie.


Sinon tu remarqueras que la majoration de la quantité |x^2-4|, a été effectuée sur l'intervalle [1,3]

On doit avoir   \eta \le 1,or si \varepsilon =10, on a \eta'=2

donc  poser \eta :=\eta' n'est pas une très bonne idée. Dans ce cas on pose :

\eta:=\min\left (\eta',1\right)

Posté par
mousse42
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 16:22

lotus18
Avant de continuer sur ce sujet, peux-tu répondre aux questions posées ci-dessous :


Soit P(x) : x\le x^2 et

P_1:\forall x\in \mathbb{R},\; P(x)

P_2:\exists x\in \mathbb{R},\; P(x)

P_3:\forall x\ge 1,\; P(x)

Peux-tu me dire si P_i est vraie ou fausse?


Soientt a\in \mathbb{R} et d>0 peux-tu me donner l'intervalle dans lequel x vérifie   |x-a|\le d?

Posté par
lotus18
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 17:07

Alors ici je pense que Pi est toujours vraie. La première est vraie donc toutes les suivantes également. Ensuite x [a-d; a+d]

Posté par
mousse42
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 17:30

En effet si P_1 était vraie, on déduirait que les autres aussi sont vraies or P_1 est faux.

Posté par
lotus18
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 17:38

Ah bon ? Mais moi je ne vois que 0 qui aurait pu poser problème et comme il y ' a  "inférieur ou égal " , j'aurais pensé que c'était bon..

Posté par
mousse42
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 17:52

tu prends x=1/2 mais bon, je remarque que tu n'as pas trop de problème avec le quantificateur \forall

Simplement je me demandais pourquoi tu as affirmé que :

Citation :

\forall \varepsilon>0, \exists \eta>0, \textcolor{blue}{\forall x\in \mathbb{R}},   |f(x)-f(2)|<\varepsilon

Posté par
lotus18
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 18:37

C'est parce que je pense que je dois mal identifier  P et Q , Mais du coup avec  (P (faux) => Q (vrai)  ) est vraie. Du coup moi l'implication que j'ai l'impression d'avoir c'est:    
( >0, >0, xR   )        (|f(x)-f(2)|<)



Du coup comme pour la proposition que vous avez écrite avec l'intervalle et eta, on avait bien trouvé avec P : x ]2-; 2+[   ( vraie) | f(x)-f(x0)|<) ( vraie )  veut dire que l'implication est vraie   mais que P (faux) Q (vraie)    donne une implication vraie    et bien je m'étais dis que P ( faux ) ce serait remplacer le ( x ]2-; 2+[  ) par x



Posté par
lotus18
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 18:42

Et qu'ainsi la première implication avec x R serait juste.

Posté par
mousse42
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 18:51

et non si tu  notes que \;,\cdots, \forall x\in \mathbb{R}  |f(x)-f(2)|<\varepsilon

ça veux dire que c'est vraie pour tout x, alors que l'on a montré que c'est vraie que pour x\in ]2-\eta,2+\eta[

donc \quad ,\cdots, \forall x\in \mathbb{R},\quad \big(x\in ]2-\eta,2+\eta[\implies |f(x)-f(2)|<\varepsilon\big)

Posté par
lotus18
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 19:53

Que l'on avait montré l'implication pour x dans l'intervalle çà je l'ai compris mais je pensais que cela entraînait la seconde implication (celle qui contient le x R ) car vous aviez écrit :
pour x ]   -2; +2[  car si P est faux et Q est vraie, PQ est vraie.

Posté par
lotus18
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 19:57

Je veux dire que vous aviez écrit que pour x ]-2; +2[ , l'implication était vraie car si P est faux et Q est vraie alors P Q est vraie.

Désolée de m'être encore trompée, je fatigue à force de ne pas comprendre

Posté par
mousse42
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 20:18

si P est faux quelque soit Q , P\implies Q est vraie.


Prends l'exemple P(x): x=2  et Q(x) : x^2=4

On a bien x=2\implies x^2=4

On peut donc écrire \forall x\in \mathbb{R}, (x=2\implies x^2=4)

Voilà un joli théorème !

si x\ne 2, l'implication est vraie. puique P est faux

Posté par
lotus18
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 20:48

Euh oui c'est bien ce que j'avais compris , mais x différent de 2 , c'est x peut être égale à n'importe quel nombre donc x R. Et donc on pourrait réécrire
l'implication, x R,( xR)  (  x2 = 4)   c'est à dire xR , x2 = 4.  
C'est pour çà que je ne comprends toujours pas pourquoi ce que j'avais dit était faux.

Posté par
mousse42
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 20:54

NON

J'ai dit que : \forall x\in \mathbb{R}, (x=2\implies x^2=4)

et toi tu dis que :

\forall x\in \mathbb{R}, (x\in \mathbb{R}\implies x^2=4) et ça c'est horriblement faux

Posté par
lafol Moderateur
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 20:55

Bonjour
non on ne pourrait pas réécrire ça ! car "x appartient à IR", ça, c'est vrai pour tout x de IR
et donc ton implication devient fausse ("p implique q" est fausse lorsque p est vrai et q faux)

Posté par
mousse42
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 21:03

merci lafol, je te laisse prendre le relais.

Posté par
lotus18
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 21:28

mousse42 @ 02-01-2019 à 20:54

NON

J'ai dit que : \forall x\in \mathbb{R}, (x=2\implies x^2=4)

et toi tu dis que :

\forall x\in \mathbb{R}, (x\in \mathbb{R}\implies x^2=4) et ça c'est horriblement faux


Oui je l'ai dis à cause de la petite ligne
mousse42 @ 02-01-2019 à 20:18

si 
 \\ 
 \\ 
 \\ si [tex]x\ne 2, l'implication est vraie. puique P est faux


Et que du coup j'ai l'impression que l'implication est vraie pour tout x
R
Merci beaucoup Mousse42 pour toute votre aide, en tous cas , bonne soirée!

Posté par
lotus18
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 21:59


lafol @ 02-01-2019 à 20:55

Bonjour
non on ne pourrait pas réécrire ça ! car "x appartient à IR", ça, c'est vrai pour tout x de IR
et donc ton implication devient fausse  ("p implique q" est fausse lorsque p est vrai et q faux)


D'accord mais dans ce cas comment vous écririez
mousse42 @ 02-01-2019 à 20:18




si x\ne 2, l'implication est vraie. puique P est faux


Comme cela ?   x R (x2x2 = 4 )

Posté par
lafol Moderateur
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 22:03

encore moins
"x différent de 2" est très souvent vrai
pour que l'implication soit vraie, il faut que chaque fois que "x différent de 2" est vrai, "x²=4" soit vrai. tu avoueras que ça n'arrive pas souvent ....

Posté par
mousse42
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 22:13

Citation :
Et que du coup j'ai l'impression que l'implication est vraie pour tout xR


OUI l'implication x=2\implies x^2=4 est vraie pour tout x\in \mathbb{R}

Posté par
lotus18
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 22:30

lafol @ 02-01-2019 à 22:03

encore moins
"x différent de 2" est très souvent vrai
pour que l'implication soit vraie, il faut que chaque fois que "x différent de 2" est vrai, "x²=4" soit vrai. tu avoueras que ça n'arrive pas souvent ....


D'accord mais alors comment est ce que je pourrais écrire sans me tromper  avec une implication cette fois
mousse42 @ 02-01- quelque soit [tex

,
si x\ne 2, l'implication est vraie.

Posté par
lotus18
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 22:32

En fait pour moi un "si" c'est une implication

Posté par
mousse42
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 22:55

lotus18 @ 02-01-2019 à 22:30


D'accord mais alors comment est ce que je pourrais écrire sans me tromper  avec une implication cette fois
mousse42 @ 02-01- quelque soit [tex

,
si x\ne 2, l'implication est vraie.


Je vais répondre à ta question même si tu ne te poses pas la bonne question

l'implication que tu demandes est :

x\ne 2 \implies \big[x=2\implies x^2=4\big] et elle est vraie pour tout x\in \mathbb{R}  

Sinon on revient à l'implication que l'on va noter P(x)

P(x):\quad x=2\implies x^2=4

est-ce que P(1) est vraie, P(2), P(0), P(50) sont-elles vraies?

Posté par
matheuxmatou
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 22:56

un "si ... alors ...."

et quel est ton problème ?

Posté par
matheuxmatou
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 22:58

mousse42
je ne suis pas d'accord avec toi au sujet de la notation

[(x=2) (x²=4)]

n'est pas un prédicat mais une proposition ... x est une variable muette... donc P et pas P(x)

Posté par
mousse42
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 23:05

matheuxmatou
ah bon? c'est une proposition car on sait que c'est vrai pour tout x dans R enfin c'est ce que je croyais...mais à priori n'est-ce pas un prédicat?

Posté par
matheuxmatou
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 23:07

mais bon sans entrer dans le détail, je ne vois pas ce qui pose problème à lotus ... !

Posté par
matheuxmatou
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 23:09

mousse42
pour formaliser je serais plutôt tenté de poser les prédicats
P(x) = (x=2)
Q(x)=(x²=4)

x ; P(x) Q(x)

ou encore,

x ; non(P(x)) OU  Q(x)

Posté par
mousse42
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 23:11

il a un problème sur l'implication :

\forall x\in \mathbb{R}  (x=2\implies x^2=4) et il ne comprend pas le \forall x\in \mathbb{R}

Posté par
lotus18
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 23:16

mousse42 @ 02-01-2019 à 22:55

lotus18 @ 02-01-2019 à 22:30


D'accord mais alors comment est ce que je pourrais écrire sans me tromper  avec une implication cette fois
mousse42 @ 02-01- quelque soit [tex

,
si x\ne 2, l'implication est vraie.


Je vais répondre à ta question même si tu ne te poses pas la bonne question

l'implication que tu demandes est :

x\ne 2 \implies \big[x=2\implies x^2=4\big] et elle est vraie pour tout x\in \mathbb{R}  

Sinon on revient à l'implication que l'on va noter P(x)

P(x):\quad x=2\implies x^2=4

est-ce que P(1) est vraie, P(2), P(0), P(50) sont-elles vraies?



Merci beaucoup !

Pour P(1) , ( 1= 2 ) est faux  et (1=4) est faux donc l'implication est fausse.

C'est çà ? ( je me doute que non mais bon )

Posté par
matheuxmatou
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 23:21

il faut revoir la définition d'une implication !

P Q est équivalent à (nonP ou Q)

voir notations à 23:09

P(1) Q(1) est VRAIE

puisque P(1) est faux, nonP(1) est vraie ... et on se moque de ce que vaut Q(1) puisque un "ou" est vrai dès qu'une des propositions est vraie ...

Posté par
matheuxmatou
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 23:23

mousse42
s'il l'écrivait en français aussi ! après tout, les maths c'est avant tout un bon maniement de la langue !

"le carré d'un nombre égal à 2 vaut 4"

et pis c'est tout !

Posté par
mousse42
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 23:25

mousse42 @ 02-01-2019 à 13:14



 \\ \begin{array}{|l|l|l|}\hline\\P&Q&P\implies Q\\\hline\\F&F&V\quad (*)\\F&V&V\quad (*)\\V&F&F\\\color{red}V&\color{red}V&\color{red}V\quad (*)\end{array}


J'ai perdu mon temps à te faire un joli tableau je vois

Posté par
lotus18
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 23:30

D'accord , merci beaucoup à tous ! Je crois que je vais aller dormir et si j'ai d'autres questions sur le même sujet , je les poserai un autre jour ( dans le même topic) C'est vrai que au final j'avais posé une question mais à chaque réponse, il y avait autre chose qui me posait problème…

Posté par
matheuxmatou
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 23:31

il faut déjà que tu apprennes le cours bien à fond en refaisant les démos et les exemples...

et ensuite que tu formules plus précisément ce qui te pose problème .

Mousse avait bien détailler les choses

Posté par
lotus18
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 23:32

mousse42 @ 02-01-2019 à 23:25

mousse42 @ 02-01-2019 à 13:14



 \\ \begin{array}{|l|l|l|}\hline\\P&Q&P\implies Q\\\hline\\F&F&V\quad (*)\\F&V&V\quad (*)\\V&F&F\\\color{red}V&\color{red}V&\color{red}V\quad (*)\end{array}


J'ai perdu mon temps à te faire un joli tableau je vois


Non vous n'avez pas perdu votre temps c'est juste que je me suis embrouillée .

Posté par
matheuxmatou
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 23:36

ce que tu dois comprendre, c'est qu'un implication est fausse dans le seul cas où la prémisse est vraie et que la conclusion est fausse...

Posté par
mousse42
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 23:43

bien, il faut suivre les conseils de matheuxmatou, le cours à fond et les démonstrations.

Travailler en premier sur des exemples très simples est très important si tu ne veux pas perdre de temps.

Bonne soirée à tous

Posté par
matheuxmatou
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 23:45

bonne soirée Mousse

Posté par
lotus18
re : Problème de compréhension quantificateurs logique 02-01-19 à 23:49

Oui et merci beaucoup Mousse.

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