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Niveau Maths sup
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Relation binaire

Posté par
Ramanujan
12-07-18 à 22:22

Bonsoir,

Je ne comprends pas la définition d'une relation binaire donnée dans mon cours surtout la partie en vert.

Soit E un ensemble.
On appelle relation binaire R sur E toute application de E \times E dans \{0,1\}.
On dit que x est en relation avec y lorsque R(x,y)=1 ce que l'on note xRy.


L'ensemble des éléments (x,y) de E \times E  tels que xRy s'appelle le graphe de R.

Donc R(x,y) peut être égal à 0 ? Ca veut dire que R(x,y)=1 ? Ca veut dire quoi R(x,y)=0 ?

Merci.

Posté par
SkyMtn
re : Relation binaire 12-07-18 à 22:29

Salut. On peut avoir plusieurs définitions de "relation binaire", mais on s'y retrouve facilement. On peut voir une relation binaire comme un symbole de proposition, un graphe, ou bien comme une application de E\times E dans \{0,1\}, qui fait office d'ensemble \{\text{faux}, \text{vrai}\}.

Quand on a R(x,y)=1 = \text{vrai} ça veut dire que x et y sont en relation par R, si par contre R(x,y)=0 = \text{faux} ils ne sont pas en relation.

Posté par
Zrun
re : Relation binaire 12-07-18 à 22:31

R est définie comme une application de E\times E dans \{0,1\} donc oui à priori R(x,y) peut valoir 0 ou 1 mais pas les deux à la fois ...
Et ben R(x,y)=0 ssi x et y ne sont pas en relations .
Par exemple , peut-tu expliciter R pour la relation d?égalité dans E ? Celle où tout le monde est en relation avec tout le monde ?

Posté par
Ramanujan
re : Relation binaire 12-07-18 à 23:22

@SkyMtn

Ok ça marche !

@Zrun

Pas compris. J'arrive pas à saisir  comment on la trouve la relation R à partir de la définition.

Posté par
Ramanujan
re : Relation binaire 12-07-18 à 23:28

Il faut juste que le couple (x,y) soit une partie de ExE ?

Vous avez un exemple de R(x,y)= ?

Posté par
lafol Moderateur
re : Relation binaire 12-07-18 à 23:32

Bonsoir
tes questions n'ont aucun sens...
tu n'as toujours pas compris ce qu'est un ensemble, ce qu'est une partie d'un ensemble, ce que sont des éléments d'un ensemble, la différence entre "être une partie de " et "être un élément de " etc
il n'y a que deux exemples possibles de R(x,y) =, comme tu dis ! R(x,y) = 0 ou R(x,y) = 1 !

Posté par
Ramanujan
re : Relation binaire 13-07-18 à 00:54

Si je sais ce que c'est un ensemble et comment déterminer ses parties.

J'ai pas compris c'est quoi le R(x,y) je trouve la définition incompréhensible.

Posté par
Ramanujan
re : Relation binaire 13-07-18 à 01:20

D'après le cours :

R est définie comme une partie de E \times E  : xRy lorsque (x,y) appartient à ce graphe.

Exemple : xRy 	\Leftrightarrow x=y
La droite d'équation y=x est bien une partie de \R^{2} et les couples (x,y) appartiennent bien à cette partie qu'on appelle graphe.

Posté par
lafol Moderateur
re : Relation binaire 13-07-18 à 09:16

D'après quel cours ? Le même que dans ton premier post ?

Posté par
DOMOREA
Relation binaire 13-07-18 à 09:34

bonjour,

Citation :
R(x,y)=1 veut dire x et y sont en relation

Cette définition ne me semble pas adéquat  car "x et y sont en relation" est une proposition qui est symétrique dans le langage courant.
.Le couple (x,y) n'est pas égal au couple (y,x)
or on peut avoir R(x,y)=1 et R(y,x)=0   si R n'est pas symétique.
exemple:  " x divise y "dans un ensemble d'entiers  ex   E= {2,3,4,5,6}  R(2,6)=1; R(6,2)=0

Posté par
Zrun
re : Relation binaire 13-07-18 à 10:43

DOMOREA @ 13-07-2018 à 09:34


Cette définition ne me semble pas adéquat  car "x et y sont en relation" est une proposition qui est symétrique dans le langage courant.

Et  quid de « x est en relation avec y » . En français ça peut sembler symétrique mais c'est la traduction exacte de xRy alors que R n'est pas forcément symétrique ...

Posté par
carpediem
re : Relation binaire 13-07-18 à 12:42

salut

DOMOREA a donnée une bonne idée ...

soit R la relation R(x, y) = 1 <=> x divise y

Ramanujan : peux-tu donner le graphe de R dans l'ensemble E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ?

Posté par
lafol Moderateur
re : Relation binaire 13-07-18 à 16:04

Zrun @ 13-07-2018 à 10:43

DOMOREA @ 13-07-2018 à 09:34


Cette définition ne me semble pas adéquat car "x et y sont en relation" est une proposition qui est symétrique dans le langage courant.

Et quid de « x est en relation avec y » . En français ça peut sembler symétrique mais c'est la traduction exacte de xRy alors que R n'est pas forcément symétrique ...


en français, "x est en relation avec y" ne signifie pas la même chose que "y est en relation avec x", sauf si la relation est symétrique
exemple de relation non symétrique : la vassalité dans l'ensemble des humains vivant au moyen-âge ....

Posté par
DOMOREA
Relation binaire 13-07-18 à 16:47

bonjour Lafol,
évidement tout à fait d'accords avec toi mais en écrivant cela je visais une partie de l'intervention de SkyMtn

Citation :
Quand on a R(x,y)=1 ça veut dire que x et y sont en relation par R


xRy ou x est en relation avec y ne suppose pas la symétrie

Posté par
lafol Moderateur
re : Relation binaire 13-07-18 à 18:54

Je répondais à Zrun 😉

Posté par
Zrun
re : Relation binaire 13-07-18 à 22:05

lafol @ 13-07-2018 à 16:04


en français, "x est en relation avec y" ne signifie pas la même chose que "y est en relation avec x", sauf si la relation est symétrique
exemple de relation non symétrique : la vassalité dans l'ensemble des humains vivant au moyen-âge ....


Je sais ce qu'est une relation (non)symétrique ... Et en français purement linguistique (en sortant de notre vision mathématique) si « A est B » alors « B est A » par exemple « Tom est blanc » et « Blanc est Tom » ... je dis juste que si on demande à une personne n'ayant pas fais d'étude sur les relations d'ordre , il considérerai que si « x est en relation avec y » alors « y est en relation avec x » ...
Mathématiquement on est tous d'accord que ce n'est pas pareil !

Posté par
verdurin
re : Relation binaire 13-07-18 à 22:18

Hum.
Si je suis blanc alors tous les blancs sont moi.

J'ai comme un doute, même si on sort du cadre mathématique.

Posté par
lafol Moderateur
re : Relation binaire 13-07-18 à 22:18

je ne suis pas d'accord
ça ne viendrait à l'idée de personne qu'on peut échanger corbeau et noir dans les phrases "ce corbeau est noir" et "ce noir est corbeau" (ou alors ne pas lui faire faire de journalisme ..)
de toutes façons, là, il y a "est en relation avec" et pas "est" qui pourrait être plus ou moins synonyme de "égale", par exemple dans des phrases comme "un sou est un sou"
le "avec" rompt la symétrie, justement : ce n'est pas exactement la même chose de dire "je vais à Paris avec ma sœur", ou "ma sœur vient à Paris avec moi"

Posté par
jsvdb
re : Relation binaire 14-07-18 à 13:15

Bonjour

Ramanujan @ 12-07-2018 à 22:22


Soit E un ensemble.
On appelle relation binaire R sur E toute application de E \times E dans \{0,1\}.
On dit que x est en relation avec y lorsque R(x,y)=1 ce que l'on note xRy.


Je trouve absurde d'appeler "relation", même si on lui colle le qualificatif de "binaire", un objet mathématique.
Une relation est un lien logique entre des objets mathématiques.
Une application de E \times E dans \{0,1\} est un objet mathématique, pas une relation logique.
Certes, à partir de cet objet, on peut en déduire une relation, mais on ne peut pas confondre les deux notions.

Donc oui,
lafol @ 12-07-2018 à 23:32

tes questions n'ont aucun sens...

Simplement parce que l'énoncé est mal formulé ...
Donc relation de cause à effet... et personne n'ira confondre la relation de cause à effet, avec l'effet (ou la cause)

Posté par
Ramanujan
re : Relation binaire 14-07-18 à 15:33

carpediem @ 13-07-2018 à 12:42

salut

DOMOREA a donnée une bonne idée ...

soit R la relation R(x, y) = 1 <=> x divise y

Ramanujan : peux-tu donner le graphe de R dans l'ensemble E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ?


Je dois trouver des couples de ExE où x divise y donc :

(1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (17) , (1,8) , (1,9) , (1,10) , (5,10) , (3,6) , (2,4) , (2,6) (2,8), (4,8) , (2,10) , (2,2) , (3,3) , (4,4) , (5,5) , (6,6) , (7,7) , (8,8) , (9,9) , (10,10)

Posté par
lafol Moderateur
re : Relation binaire 14-07-18 à 18:00

Quel fouillis.... Pas étonnant d'en oublier en étant aussi bordélique.... 3 ne divise plus 9 par exemple ?

Posté par
carpediem
re : Relation binaire 14-07-18 à 18:26

et zéro ? il a beau être nul il n'en a pas moins des propriétés ...

Posté par
Ramanujan
re : Relation binaire 14-07-18 à 19:18

Y en a tellement que c'est facile d'en oublier.

Je vais tracer le graphique des points (x,y) qui vérifient la relation R ça sera plus simple pour ne pas en oublier.

Posté par
Ramanujan
re : Relation binaire 14-07-18 à 19:28

J'ai construit le graphe sur Géogébra :

Relation binaire

Posté par
Ramanujan
re : Relation binaire 14-07-18 à 19:29

J'ai oublié des points : 1 divise tous les nombres de 2 à 10 !

Posté par
jsvdb
re : Relation binaire 14-07-18 à 19:33

je ne suis pas certain que (0;0) puisse être dans le graphe de cette relation

Posté par
Zrun
re : Relation binaire 14-07-18 à 20:18

jsvdb @ 14-07-2018 à 19:33

je ne suis pas certain que (0;0) puisse être dans le graphe de cette relation


0 divise bien 0 car il existe un entier (par exemple 1) tel que 0=1*0

Posté par
jsvdb
re : Relation binaire 14-07-18 à 21:20

mmm ! Très juste ! ... j'avais oublié ce détail issu de la définition de a divise b dans \Z

Posté par
ThierryPoma
re : Relation binaire 14-07-18 à 22:20

Bonsoir,

Soit E un ensemble.

Soit f:E\times{E}\to\{0,\,1\} une application. Cette application induit sur E une relation binaire définie par (x,\,y)\in{f}^{-1}(\{1\}). Remarquons au passage que la fibre f^{-1}(\{1\}) peut être vide. Réciproquement, soit une relation binaire sur E de graphe \Gamma (lequel peut être vide !). Alors, cette relation binaire est induite sur E par l'application

\left\{\begin{array}{rcl}E\times{E}&\longrightarrow&\{0,\,1\}\\(x,\,y)&\longmapsto&\left\{\begin{array}{lll}1&\mbox{si }(x,\,y)\in\Gamma\\0&\mbox{sinon.}\\\end{array}\right.\\\end{array}\right.

qui est uniquement déterminée.

Posté par
jsvdb
re : Relation binaire 15-07-18 à 02:02

C'est exactement la suite de ceci Relation binaire

Posté par
Ramanujan
re : Relation binaire 15-07-18 à 03:17

ThierryPoma @ 14-07-2018 à 22:20

Bonsoir,

Soit E un ensemble.

Soit f:E\times{E}\to\{0,\,1\} une application. Cette application induit sur E une relation binaire définie par (x,\,y)\in{f}^{-1}(\{1\}). Remarquons au passage que la fibre f^{-1}(\{1\}) peut être vide. Réciproquement, soit une relation binaire sur E de graphe \Gamma (lequel peut être vide !). Alors, cette relation binaire est induite sur E par l'application

\left\{\begin{array}{rcl}E\times{E}&\longrightarrow&\{0,\,1\}\\(x,\,y)&\longmapsto&\left\{\begin{array}{lll}1&\mbox{si }(x,\,y)\in\Gamma\\0&\mbox{sinon.}\\\end{array}\right.\\\end{array}\right.

qui est uniquement déterminée.


Ah j'ai compris maintenant

Posté par
carpediem
re : Relation binaire 15-07-18 à 08:56

Zrun @ 14-07-2018 à 20:18

jsvdb @ 14-07-2018 à 19:33

je ne suis pas certain que (0;0) puisse être dans le graphe de cette relation


0 divise bien 0 car il existe un entier (par exemple 1) tel que 0=1*0
certes ....

mais la définition de diviseur commence par : un entier non nul n divise l'entier m si ....

0 vérifie bien ce qui suit le si mais pas ce qui précède le si

Posté par
DOMOREA
Relation binaire 15-07-18 à 09:26

bonjour,
la définition de "relation" qui a été donnée en début de post et transcrite par Ramanujan est celle donnée par Lucien Chambadal
dans son dictionnaire des mathématiques modernes édité par LAROUSSE

Posté par
malou Webmaster
re : Relation binaire 15-07-18 à 09:44

jsvdb @ 15-07-2018 à 02:02

C'est exactement la suite de ceci Relation binaire


ça va jsvdb ? tout va bien ?
faut pas répondre à une heure pareille ! ....on n'a plus les yeux en face des trous ...

Posté par
Zrun
re : Relation binaire 15-07-18 à 09:57

carpediem @ 15-07-2018 à 08:56

certes ....

mais la définition de diviseur commence par : un entier non nul n divise l'entier m si ....

0 vérifie bien ce qui suit le si mais pas ce qui précède le si



On ne doit pas avoir la même définition de la divisibilité : http://www.animath.fr/IMG/pdf/cours-arith1.pdf page 4 , définition puis les premières remarques qui suivent

Posté par
carpediem
re : Relation binaire 15-07-18 à 11:09

Divisibilité - PGCD et PPCM - Nombres premiers et la plupart des définitions sont celles-ci ...

il est vrai qu'on peut "extrapoler à 0" comme il est dit dans ton lien ... et je le dis toujours oralement ...

mais du point de vue pédagogique je préfère retirer 0 car on voit tant d'élèves écrire la monstruosité 2/0 par exemple ... (par exemple pour les limites en terminale)

Posté par
Zrun
re : Relation binaire 15-07-18 à 13:18

Je suis d'accord avec ton point de vue , c'est sur que ça peut embrouiller les élèves !!
Il ne faut pas confondre 0 divise 0 et la fraction 0/0 qui n'a aucun sens . Et ce que je pense ne comprennent pas tous les élèves , c'est qu'il y a le 0 d'analyse (pour les limites) et le 0 d'algèbre ...

Posté par
Ramanujan
re : Relation binaire 15-07-18 à 14:08

Petite question :
Soit R une relation d'équivalence.
Si x R y pourquoi cl(x)=cl(y) ?

J'ai écris :

cl(x)=\{y \in E, xRy \}=\{y \in E, yRx \} par transitivité.
cl(y)=\{x \in E, yRx \}

Mais je vois pas comment conclure.

Posté par
SkyMtn
re : Relation binaire 15-07-18 à 14:13

Comme n'importe quelle égalité d'ensembles (parties)...
Soit s\in \text{cl}(x), alors sRx, mais comme xRy on a aussi sRy et enfin s\in \text{cl}(y).
Cela montre \text{cl}(x)\subseteq \text{cl}(y) et on montrerait de la même manière l'inclusion réciproque

Posté par
verdurin
re : Relation binaire 15-07-18 à 15:55

@Ramanujan
Je me souviens du mauvais vieux temps . . .

En cinquième on apprenait ce qu'est une partition d'un ensemble, puis on définissait les relations d'équivalences en disant qu'elles sont associées à une partition.

C'est une image que tu peux retenir.
Avec ta définition d'une relation les couples de R forment des blocs « carrés » le long de la diagonale principale.

Posté par
jsvdb
re : Relation binaire 15-07-18 à 17:02

malou @ 15-07-2018 à 09:44

jsvdb @ 15-07-2018 à 02:02

C'est exactement la suite de ceci Relation binaire


ça va jsvdb ? tout va bien ?
faut pas répondre à une heure pareille ! ....on n'a plus les yeux en face des trous ...

Oui, malou, tout va bien, il y a juste qu'après avoir fustigé l'idée qu'une relation, même binaire, n'est pas un objet mathématique, j'aurai dû faire ce qu'a fait ThierryPoma, savoir, dire ce qu'est une relation binaire ... d'où ma réflexion qui a pu paraître bizarre

Posté par
Ramanujan
re : Relation binaire 15-07-18 à 18:02

SkyMtn @ 15-07-2018 à 14:13

Comme n'importe quelle égalité d'ensembles (parties)...
Soit s\in \text{cl}(x), alors sRx, mais comme xRy on a aussi sRy et enfin s\in \text{cl}(y).
Cela montre \text{cl}(x)\subseteq \text{cl}(y) et on montrerait de la même manière l'inclusion réciproque


Merci j'ai écrit la démo ça marche nikel.

J'aimerais savoir quelle est la méthode pour déterminer le contraire de cette équivalence :

xRy 	\Leftrightarrow yRx

En fait c'est la symétrie et j'aimerais déterminer l'antisymétrie.

Posté par
jsvdb
re : Relation binaire 15-07-18 à 18:12

Il faut que tu reviennes à la définition  de l'equivalence

Posté par
jsvdb
re : Relation binaire 15-07-18 à 18:13

Mais attention l'antisymetrie n'est pas la négation de la symétrie...

Posté par
SkyMtn
re : Relation binaire 15-07-18 à 18:40

Attention !

La négation de la symétrie c'est \exists x,y \text{ t.q. } xRy \text{ et } \text{non}(yRx), alors que l'antisymétrie c'est \forall x,y, (xRy \text{ et } yR x) \Rightarrow x=y... symétrie et antisymétrie ne sont pas négation l'une de l'autre.

Posté par
jsvdb
re : Relation binaire 15-07-18 à 18:57

CHAMPION DU MONDE ....................................

Posté par
carpediem
re : Relation binaire 15-07-18 à 20:25

une fonction f  :   \left\lbrace\begin{matrix} E & \rightarrow & P(E)\\ x & \mapsto &f(x) \end{matrix}\right.   est une relation binaire ...

R  :si  \forall x \in E  :  x \in f(x)   alors f est réflexive

S  :si \forall (x, y) \in E^2  :  y \in f(x) \Rightarrow x \in f(y)   alors f est symétrique

A  :si \forall (x, y) \in E^2  :  [x \in f(y) $ et $ y \in f(x)] \Rightarrow x = y  alors f est antisymétrique        ... mais au fait qu'est ce que cette relation = ?

T  :si \forall (x, y, z) \in E^3  :  [x \in f(y) $ et $ y \in f(z)] \Rightarrow x \in f(z)   alors f est transitive


toute fonction vérifiant les propriétés R, S et T est appelée relation d'équivalence

toute fonction vérifiant les propriétés R, A et T est appelée relation d'ordre



ainsi dans \R muni de sa relation d'ordre naturel la fonction f est définie par : f(x) = [x, +\infty[

et la fonction g définie par g(x) = ]x, + \infty[   n'est pas réflexive donc n'est pas une relation d'ordre

cette fonction g est la relation binaire est inférieur strictement  y \in g(x) \iff x < y

mais il est tout de même plus simple de résumer la suite des six symboles x \in f(y)  ou  x \in g(y)  en x \le y  ou  x < y


la relation binaire  f  :   \left\lbrace\begin{matrix} \Z & \rightarrow & P(\Z)\\ n & \mapsto &f(n) = n\Z \end{matrix}\right. définit dans Z la relation d'ordre m \in f(n) \iff    n divise m

la relation binaire (d'équivalence) x = y est donnée par la fonction f(x) = \{x\}

Posté par
jsvdb
re : Relation binaire 15-07-18 à 20:38

Je dénie formellement à une fonction, terme mathématique, d'avoir le droit de porter le nom de « relation « .
C'est une antinomie.
C'est comme confondre l'etre Et l'avoir, les torchons et les serviettes.

Posté par
Ramanujan
re : Relation binaire 15-07-18 à 20:46

jsvdb @ 15-07-2018 à 18:12

Il faut que tu reviennes à la définition  de l'equivalence


Dans le cours y a que la table de vérité de l'implication.

Posté par
Ramanujan
re : Relation binaire 15-07-18 à 20:49

SkyMtn @ 15-07-2018 à 18:40

Attention !

La négation de la symétrie c'est \exists x,y \text{ t.q. } xRy \text{ et } \text{non}(yRx), alors que l'antisymétrie c'est \forall x,y, (xRy \text{ et } yR x) \Rightarrow x=y... symétrie et antisymétrie ne sont pas négation l'une de l'autre.


J'ai pas compris comment vous faites.

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