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Niveau Maths sup
Résoudre l'équation.
Posté par gabriella
Bonjour, j'aurais grand besoin qu'on m'aide pour cet exercice svp:
A et B désignent deux sous-ensembles d'un ensemble E.
On considère l'équation (*) A
X=B d'inconnue X
P(E).
a) Ecrire en langage logique l'assertion "l'équation (*( possède au moins une solution".
J'ai mis:
xE, 
xX,AX=B.
(est-ce bon?)
ensuite la deuxième question:
b) Donner une condition nécessaire et suffisante (H) pour que (*) possède au moins une solution.
J'ai mis:
xE, xX, ((AX)
(AB
B et BAX))
ensuite:
c) On suppose à parie (H) vérifiée. Démontrer qu'un epartie X de E est solution de (*) si et seulement si il existe M
P(complémentaire de A) tel que X=B
M.
(je n'arrive pas à trouver)
d) Ecrire l'ensemble des solutions de (*) en compréhension, puis à l'aide d'un paramétrage.
(je suppose que cette question est dépendante de la question précédente.)
Merci d'avance.
pardon j'ai faite une erreur/
la question c):
On suppose à partir de maintenant(H) vérifiée. Démontrer qu'une partie X de E est solution de (*) si et seulement si il existe MP(complémentaire de A) tel que X=BM.
Dans une "formule logique" on ne peut pas quantifier deux fois des variables ! Ca ne peut-être à la fois "pour tout" et "il existe". Que voulais-tu dire par
"propriété qui dépend de [tex]x[\tex]"
Soient E un ensemble et A , B deux éléments de P(E) . Une solution de l'équation qu'on te propose est un élément de S = { X P(E) | A X = B } .
Dire qu'il y a au moins une solution c'est dire que S est non vide ce qui est dire que la propriété " X P(E) tq A X = B " est réalisée .
1. Supposons donc S 
. Soit X S . De B = A X tu déduis que B X et que H := "B A " est satisfaite . De plus X = (X A ) (X \ A) = B (X \ A) . Autrement dit X est la réunion de B et d'une partie de E \ A .
2.Inversement supposons que H := "B A " soit satisfaite . Si M E \ A alors B M S qui est donc non vide.
3.Conclusion : S est non vide SSI H := "B A " est satisfaite et si c'est le cas S = { B M | M E \ A }
Remarque : tu peux t'aider en faisant un dessin mais quand tu rédiges tu fais comme les aveugles