Bonjour à tous,

Je planche sur cet exo depuis un bon moment et que je n'arrive pas à
terminer.

ABCD est un parallélogramme. I est milieu de AB et E est le point tel
que vecDE = 2/3 vecDI. Il s'agit de démontrer que les points A, E
et C sont alignés par différentes méthodes.
(vec = vecteur)

A ) Méthode 1 : Utilisation d'une configuration.

1)Que représente E pour le triangle ABD ?

j'ai répondu que E représentait le centre de gravité du triangle ABD car
vecDE = 2/3vecDI. Donc vecED = - 2vecEI.
Est-ce suffisant ?


2) O désigne le centre du parallélogramme ABCD.
Prouvez que A, E et O sont alignés.

Comme E est centre de gravité de ABD, alors vecAE = 2/3 vecAO.
Ce qui prouve que A, C et 0 sont alignés.

3) Déduisez en l'alignement de A, E et C.
Puisque 0 est milieu de AC, on peut conclure que A, E, O et C sont alignés
dans cet ordre.

Est-ce que cette démonstration est bonne ?

B) Méthode 2 : utilisation du calcul vectoriel

1) Prouvez que vecAE = 1/3 vecAB + 1/3 vecAD

Voici ce que j'ai fait :
On part de DE = 2/3 DI    (je m'exprime en vecteur mais j'enlève vec
pour plus de lisibilité)
DA + AE = 2/3(DA + AI)
DA + AE = 2/3 DA + 2/3 AI
AE = - DA + 2/3 DA + 2/3 AI
AE = - 1/3 DA + 2/3(1/2 AB)
AE = 1/3 AD + 1/3 AB
On retrouve bien l'égalité demandée.

2) Déduisez-en l'alignement de A, E et C.

AE = 1/3 (AD + AB)
On utilise la règle du parallélogramme, et on trouve AE = 1/3 AC
Les vecteurs AE et AC sont colinéaires, les points A, E et C sont donc
alignés.

Ma démonstration tient la route ?

C) Méthode 3 : choix d'un repère.

Là, je n'y arrive pas. Comment dois-je faire ?
Dois-je prendre un repère O, i, j et tracer mon parallélogramme en choisissant
au hasard des coordonnées de points ?
On a à peine commencé les coordonnées de points et de vecteurs dans
un repère, j'avoue que je coince complètement sur cette dernière
question.
J'ai vraiment besoin de votre aide. Merci d'avance et pardonnez-moi si
cet énoncé est un peu long.